Question

Numerele naturale x și y sunt direct proporționale cu 8 și 3, numerele naturale y și z sunt invers proporționale cu 3 și respectiv 9 supra 4, iar pătratul lui x este cu 160 mai mare decât 2yz.

a) Aratati ca y supra 3 = z supra 4
b) Aflati numerele x, y si z.​

Answer 1

x,y sunt direct proporționale cu 8 și 3 =>

$= > \frac{x}{8} = \frac{y}{3} = > 3 \times x = 8 \times y$

$= > x = \frac{8 \times y}{3}$

y și z sunt invers proporționale cu 3 și 9/4 =>

$= > 3 \times y = \frac{9}{4} \times z = > 3 \times y = \frac{9 \times z}{4}$

$= > 9 \times z = 4 \times 3 \times x = 12 \times x \: \: \: | \: :3$

$= > 4 \times y = 3 \times z = > \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$

$= > z = \frac{4 \times y}{3}$

${x}^{2} = 2yz + 160$

${( \frac{8y}{3} )}^{2} = 2 \times y \times \frac{4y}{3} + 160$

$\frac{ {(8y)}^{2} }{ {3}^{2} } = \frac{8 \times {y}^{2} }{3} + 160$

$\frac{64 \times {y}^{2} }{9} = \frac{8 \times {y}^{2} }{3} + 160 \: \: \: | \times 9$

$= > 9 \times \frac{64 \times {y}^{2} }{9} = 9 \times \frac{8 \times {y}^{2} }{3} + 9 \times 160$

$64 \times {y}^{2} = 3 \times 8 \times {y}^{2} + 1440$

$64 \times {y}^{2} = 24 \times {y}^{2} + 1440$

$1440 = (64 - 24) \times {y}^{2} = 40 \times {y}^{2}$

${y}^{2} = \frac{1440}{40} = 36$

$y = \sqrt{36} = 6 \: sau \: -6$

y = 6 sau -6

y = -6 nu convine, fiindcă y aparține mulțimii numerelor naturale

=> y = 6

$= > x = \frac{8 \times y}{3} = \frac{8 \times 6}{3} = 8 \times 2 = 16$

x = 16

$= > z = \frac{4 \times y}{3} = \frac{4 \times 6}{3} = 4 \times 2 = 8$

z = 8

Răspuns: (x, y, z) = (16, 6, 8)