Question

O baterie cu t.e.m. $E=100 \mathrm{~V}$ și rezistența interioară $r=5 \Omega$ debitează pe un consumator de rezistență $R=75 \Omega$. Consumatorul este confecționat dintr-un fir metalic având lungimea $L=25 \mathrm{~m}$ și secțiunea transversală $S=0,1 \mathrm{~mm}^{2}$. Determinați:

a. valoarea rezistivității materialului din care este confecționat firul;

b. energia consumată de rezistorul $R$ în timpul $\Delta t=8$ min ;

c. valoarea unei rezistente $R_{1}$ care trebuie conectată, în paralel cu consumatorul de rezistență $R$, pentru ca puterea electrică debitată de baterie în circuitul exterior să fie maximă;

d. puterea totală furnizată de baterie în condițiile punctului c..

Answer 1

a.

Rezistenta electrica a unui consumator de lungime L si sectiune S depinde de rezistivitatea electrica a materialului prin relatia:

$R = \rho \times \frac{L}{S} \implies\\\rho = R \times \frac{S}{L}\\\rho = 75 \times \frac{0,1 \times 10^{-6}}{25}\\\rho = 3 \times 10^{-7} \hspace{1mm} \Omega m$

Mai sus am transformat milimetri patrati in metri patrati.

b.

Energia disipata pe un rezistor R in intervalul de timp Δt este:

$W = P \times \Delta t = R \times I^2 \times \Delta t$

Din legea lui Ohm pe intregul circuit (baterie plus consumator):

$E = (R + r) \times I \implies\\I = \frac{E}{R+r}\\I = \frac{100}{75 + 5} = 1,25\hspace{1mm}A$

Inlocuind valoarea lui I in formula anterioara pentru energie, obtinem:

$W = 75 \times 1,25 \times 1,25 \times 8 \times 60 = 56250\hspace{1mm}J = 0,015625\hspace{1mm}kWh$

In formula de mai sus am transformat minutele in secunde, pentru a lucra in unitati din sistemul international.

c.

Notam cu Rp valoarea gruparii paralele R + R1. Atunci legea lui Ohm pe intregul circuit devine:

$E = (Rp+r) \times I \implies\\I = \frac{E}{Rp+r} \implies\\P = Rp \times \frac{E^2}{(Rp+r)^2}\\P_{max} = E^2 \times \max(\frac{Rp}{(Rp+r)^2})$

Analizand raportul de mai sus, stiind si ca Rp>0, valoarea lui maxima se obtine atunci cand Rp = r. Sa scriem acum relatia dintre Rp si rezistentele R si R1 grupate in paralel:

$Rp = r\\\frac{1}{Rp} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_1}\\\implies\\\frac{1}{R_1} = \frac{1}{r} - \frac{1}{R}\\R_1 = \frac{r \times R}{R - r}\\R_1 = \frac{5 \times 75}{75 - 5}\\R_1 \approx 5,357\hspace{1mm}\Omega$

d.

Puterea totala furnizata de baterie in conditiile punctului c va fi:

$P_{total} = \frac{E^2}{Rp+r} = \frac{E^2}{2r} = \frac{100\times100}{2 \times 5} = 1000\hspace{1mm}W$

_____________

O alta problema cu rezistenta interna: https://brainly.ro/tema/6395900

#BAC2022 #SPJ4