O bucată de tablă are forma unui pătrat cu latura AB 12 cm, pe laturile căruia sunt construite, spre exterior, triunghiurile echilaterale ABM, BCN, CDP şi DAQ. Îndoind tabla după dreptele AB, BC, CD, DA obtinem o piramidă patralateră regulată (fig. 2). Calculați aria totală şi volumul acestei piramide.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Aria totala = A ABCD + 4*A BCN (cele 4 triunghiuri echilaterale sunt congruente)=12*12*12+4*(12*12rad 3/4) = 144 + 144* rad 3=144(1+rad 3)
(rad inseamna radical)
pentru a afla volumul, trebuie sa aflam inaltimea piramidei
Atunci cand se va forma piramida, punctele Q, P, M, N vor coincide
Fie QO inaltimea piramidei, iar avand in vedere ca aceasta este piramida regulata => O va fi centrul patratului
Luam E mijlocul lui BC (sau oricare alta latura, eu am luat BC)
Avand in vedere ca O este mijlocul lui AC si E mijlocul lui BC => OE - linie mijlocie in triunghiul ACB => OE || AB si OE=AB/2=12/2=6, iar AB este perpendicular pe CB => OE este perpendicular pe CB ; QO este perpendicular pe planul ABCD deoarece este inaltime in piramida regulata ; CB si OE sunt incluse in planul ABCD => (ultimele trei relatii) din teorema celor trei perpendiculare , rezulta ca QE este perpendicular pe CB, iar avand in vedere ca triunghiul CBQ este echilateral si ca QE este inaltime in triunghi echilateral, rezulta ca QE va fi egal cu 12*rad 3/2, adica 6*rad 3
Acum, avand in vedere ca QO este perpendicular pe planul ABCD si OE este inclus in acest plan, rezulta ca QO este perpendicular pe OE, iar atunci cu teorema lui pitagora se va obtine ca QO= radical din (QE^2-OE^2)=radical din (108-36)=6*rad 2
Iar atunci volumul piramidei va fi V=h*Aria lui ABCD/3=6*rad 2 *144/3=288* rad 2