Question

O curte are forma unui trapez isoscel abcd,cu ab=10 dam,dc=6 dam,bc=2 radical din 5 dam. Se stie ca dc=3ec,ef perpendiculara pe ab si ac intersectat cu ef in punctul p.
a) Calculati aria suprafetei curtii
b) Proprietarul vrea sa imprejmuiasca cu gard de sarma aceasta curte. Cati merti liniari de sarma trebuie sa cumpere? Aproximati rezultatul prin adaos la un nr natural.
c) Calculati lungimea segmentului [AF]
d) Portiunea hasurata este plantata cu pomi.Aflati aria portiunii plantata cu pomi.
Portiune hasurata: triunghiul APF si PEC

Answer 1

Ducem urmatoarele drepte ajutatoare:
Perpendiculara din C pe AB  in M unde M ∈ AB
Perpendiculara din D pe AB  in N  unde N ∈ AB
Deoarece trapezul este isoscel, triunghiurile ADN si BCM sunt congruente.
(nu insist sa dovedesc asta deoarece este valabil la orice trapez isoscrl, iar daca se cere o argumentare, e usor de demonstrat)
⇒ AN = MB
Vom lua unul din cele 2 triunghiuri, de exemplu  ΔBCM in care stim:
- este dreptunghic cu <CMB = 90°
- CB = 2√5 dam
- latura MB = (AB - CD)/2 = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2 dam.
Calculam CM = √(CB² - MB²)  = √((2√5)² - 2² ) √(20 - 4) = √16 = 4 dam.
Dar CM = EF = DN = 4 dam  (sunt inaltimi in trapez)

 Rezolvari:
a)  Aria curtii = (AB + CD)*CM / 2 = (10+6)*4/2 = 16 * 4 / 2 = 32 dam²
b) Gardul de sarma trebuie definit. De regula se trag 4, 5, 6 etc fire de sarma in paralel sau e un gard din sarma impletita, dar problema cele:  Cati metri liniari de sarma ...." . Voi calcula perimetrul trapezului:
P = AB + CD + 2 * BC = 10 + 6 + 2 * 2√5 = 16 + 4√5 = 16+4* 2,25 = 16 + 9= 25dam
c) Stim ca DC = 3*EC ⇒ EC = DC/3 = 2 dam
   DE = DC - 2 = 6 - 2 = 4
   DE = NF  ⇒ NF = 4 dam
AN = MB = 2  dam
⇒ AF = AN + NF = 2 + 4 = 6 dam
d) In triunghiul ACM avem:
AM  = AN + MN = 2 + 6 = 8dam
AF = 6 dam
CM = 4 dam
 PF este o dreapta paralela cu CM
Aplicam teorema lui Thales
PF / CM = AF / AM  unde PF este necunoscuta
PF = AF * CM / AM = 6 * 4 / 8 = 24 / 8 = 3 dam
⇒ PE = EF - PF = 4 - 3 = 1
Aria suprafetei hasurate = Aria ΔAPF + Aria ΔEPC
PE si PF sunt inaltimi in triunghiurile ΔEPC respectiv  ΔAPF

Aria  = AF * FP /2  +  CE * EP /2 =  6 * 3 / 2  +  2 * 1 / 2 = 9 + 1 = 10 dam²

Gata !!!!!!!