Question

O scara de lungime l=4m si de masa m=18 kg este sprijinita de un perete vertical neted si formeaza cu acesta un unghi a=30°. Pâna la ce inaltime macima poate urca un om pe scara inainte ca aceasta sa alunece,daca coeficientul de frecare dintre scara si podea este 0,3,iar masa omului este de 4 ori mai mare decât masa scării?Cu ce forta apasa scara asupra podelei atunci când omul se afla la aceasta inaltime?

Answer 1

Facem echilibru de momente, luand ca centru de rotatie punctul in care tija se sprijina de perete. Fortele relevante sunt greutatea omului, $G_M$, greutatea tijei. $G_m$, forta de frecare, $F_f$, si reactiunea in punctul de jos, $N$. Obtinem astfel urmatorul sistem (destul de laborios!) de relatii:

$\begin{cases}M_N(O)=M_{F_f}(O)+M_{G_m}(O)+M_{G_M}(O) \\\\ M_{G_m}=mgb_{G_m}, \: b_{G_m}=\dfrac{l\sin\alpha}{2}\implies M_{G_m}=\dfrac{mgl\sin\alpha}{2} \\\\ M_{G_M}=4mgb_{G_M},\: b_{G_M}=(l-h/\cos\alpha)\sin\alpha\implies M_{G_M}=4mg(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha) \\\\ M_{F_f}=5\mu mgb_{F_f},\: b_{F_f}=l\cos\alpha\implies M_{F_f}=5\mu mgl\cos\alpha \\\\ M_N=5mgb_N,\:b_N=l\sin\alpha\implies M_N=5mgl\sin\alpha \end{cases}$

De aici, tot ce trebuie sa facem este sa inlocuim corect si sa rezolvam cu rabdare ecuatia finala, al carei rezultat este, in fapt, destul de simplu:

$5mgl\sin\alpha=5\mu mgl\cos\alpha+\dfrac{mgl\sin\alpha}{2}+4mg(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha)$

Observam ca inaltimea pana la care urca omul, $h$, nici nu depinde de masa sau de acceleratia gravitationala, fiindca putem simplifica $mg$ peste tot:

$5l\sin\alpha=5\mu l\cos\alpha+\dfrac{l\sin\alpha}{2}+4(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha)$

Sarind peste cateva etape in calcul pe care sunt convins ca le poti face fara ajutor, obtinem relatia finala:

$h=\dfrac{l(5\mu\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2})}{4\text{tg }\alpha}\approx 1,816m$