Question

Ofer 99 puncte! Aratati ca numărul A (n) = n ^4 + 2n^3 - n ^2 -2n se divide cu 8 oricare ar fi numarul natural n .

Answer 1

[tex]n^4+2n^3-n^2-2n=n^3(n+2)-n(n+2)=(n+2)(n^3-n)=\\ (n+2)n(n^2-1)=(n+2)n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)[/tex]
Numarul dat este, dupa un produs de 4 numere naturale consecutive (pentru n=0, produsul este  0 chiar daca avem si un factor intreg negativ ). Printre aceste numere, doua sunt divizibile cu 2, iar din cele divizibile cu 2 unul dintre ele sigur este divizibil chiar cu 4. Astfel putem evidentia factorul 2*4=8 care apare in descompunerea ca produs a numarului dat. Deci numarul dat este divizibil cu 8.