Question

OFER COROANA!
1.Aflati cel mai mare multiplu de trei cifre al lui 7.
2.Rezolvati :
a) (x-1)(y+3)=18;
b) (2x-1)(y-3)=14.
3.Aratati ca n=2¹+2²+2³+....+2¹⁴⁴ este divizibil cu:
a)6; b)7; c)15.
4.Dragos are de rezolvat suplimentar 24 de problem de matematica.Poate sa le rezolve in timp de doua zile repartizand un numar egal de problem in fiecare zi?Dar in 4 zile? Dar in 5 zile? Justificati!

Answer 1

1.
Sa presupunem ca acel multiplu este 999:
999 : 7 = 142 rest 5  (nu este multiplu)

Nu exista un numar de 3 cifre mai mare decat 999, asadar, va trebui sa cautam unul mai mic. Restul impartirii lui 999 la 7 este 5  ==>  Trebuie sa scadem 5 pentru a ajunge la multiplul urmator, mai mic:

999 - 5 = 994

2.
x si y trebuie sa fie numere intregi, altfel, ar exista o infinitate se solutii.

a)
(x - 1)(y + 3) = 18

Produsul a doua numere trebuie sa fie egal cu 18. Vom cauta toate perechile de numere ale caror produs este 18.

a * b = 18  ==> (a, b) ∈ {(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1)}

Vom lua fiecare caz:

I.  1 * 18 = 18  ==>  x - 1 = 1  si  y + 3 = 18
                                x = 2;  y = 15

II. 2 * 9 = 18  ==>  x - 1 = 2  si  y + 3 = 9
                              x =  3;  y = 6

III. 3 * 6 = 18  ==>  x - 1 = 3  si y + 3 = 6
                               x = 4;  y = 3

IV. 6 * 3 = 18  ==>  x - 1 = 6  si  y + 3 = 3
                               x = 7;  y = 0

V. 9 * 2 = 18  ==>  x - 1 = 9  si  y + 3 = 2
                              x = 10;  y - imposibil

La celelalte cazuri, nu vor mai exista valori naturale pentru y.

(x, y) ∈ {(2, 15), (3, 6), (4, 3), (7, 0)}

*********************
*Daca vom considera si numerele negative, atunci vom mai avea niste cazuri:
V. 9 * 2 = 18  ==> x - 1 = 9  si  y + 3 = 2
                             x = 10;  y = -1

VI. 18 * 1  ==>  x - 1 = 18  si  y + 3 = 1
                         x = 19;  y = -2

Daca a * b = 18, atunci a si b pot fi ambele negative:
(a, b) ∈ {(-1, -18), (-2, -9), (-3, -6), (-6, -3), (-9, -2), (-18, -1)}

Vom avea din nou 6 cazuri:

I.
x - 1 = -1   ==>  x = 0
y + 3 = -18  ==>  y = -21

II.
x - 1 = -2  ==>  x = -1
y + 3 = -9  ==>  y = -12

III.
x - 1 = -3  ==> x = -2
y + 3 = -6  ==> y = -9

IV.
x - 1 = -6  ==>  x = -5
y + 3 = -3  ==>  y = -6

V.
x - 1 = -9  ==>  x = -8
y + 3 = -2  ==> y = -5

VI.
x - 1 = -18  ==> x = -17
y + 3 = -1  ==>  y = -4

(x, y) ∈ {(10, -1), (19, -2), (0, -21), (-1, -12), (-2, -9), (-5, -6), (-8, -5), (-17, -4)}

**********************

3.
[tex]n=2^1+2^2+2^3+...+2^{144}\ \ \text{(Inmultim cu 2 in ambii membri)}\\\\ 2n = \underbrace{2^2+2^3+2^4+...+2^{144}}_{n-2^1}+2^{145}\\\\ 2n=n-2+2^{145}\\ n=2^{145}-2=2(2^{144}-1)[/tex]

Trebuie sa vedem ce se intampla cu restul impartirii la fiecare dintre numere pentru puterile lui 2 .

a)
[tex]\text{Restul impartirii la 6}\\ 2^1=2=6k+2\ \ \ \text{(restul 2)}\\ 2^2=4=6k+4\ \ \ \text{(restul 4)}\\ 2^3=8=6k+2\\ 2^4=16=6k+4\\ 2^5=32=6k+2\\ 2^6=64=2k+4[/tex]

Se observa ca resturile se repeta din 2 in 2:
Daca puterea e para, atunci, restul este 4, daca e impara, este 2

145 este impar  ==> 2¹⁴³ = 6k + 2  ==> n = 2¹⁴³ - 2 = 6k  ==> n este divizibil cu 6

b)
[tex]2^1=7k+2\\ 2^2=7k+4\\ 2^3=7k+1\\ 2^4=7k+2[/tex]

Aici, restulrile se repeta din 3 in 3. Asadar, restul impartirii lui 2^n la 7 depinde de restul impartirii lui n la 3:

[tex]n=\textit{M}_3 \rightarrow 2^n=7k+1\\ n=\textit{M}_3+1\rightarrow 2^n=7k+2\\ n=\textit{M}_3+2\rightarrow 2^n=7k+4[/tex]

145 : 3 = 47 rest 1  ==>  2¹⁴³ = 7k + 2  ==>  n = 2¹⁴³ - 2 = 7k  ==> n este divizibil cu 7

c)
[tex]2^1=15k+2\\ 2^2=15k+4\\ 2^3=15k+8\\ 2^4=15k+1\\ 2^5=15k+2[/tex]

[tex]n=\textit{M}_4\rightarrow2^n=15k+1\\ n=\textit{M}_4+1\rightarrow2^n=15k+2\\ n=\textit{M}_4+2\rightarrow2^n=15k+4\\ n=\textit{M}_4+3\rightarrow2^n=15k+8[/tex]

145 : 4 = 36 rest 1  ==>  2¹⁴⁵ = 15k + 2  ==>  n = 2¹⁴⁵ - 2 = 15k  ==>  n este divizibil cu 15

4.
Trebuie sa verifici daca 24 se divide cu fiecare din cele 3 numere.

24 : 2 = 12  ==>  Le poate rezolva in 2 zile daca rezolva 12 pe zi
24 : 4 = 6  ==> Le poate rezolva in 4 zile daca rezolva 6 pe zi
24 : 5 = 4 rest 4  ==>  Nu le poate rezolva in 5 zile deoarece nu poate distribui in mod egal cele 24 de probleme pentru fiecare zi