Question

Ofer coroană

Urgent vă rog frumos! Mulțumesc frumos ​

Answer 1

Răspuns:

(Z, ○,*) este inel comutativ

Explicație pas cu pas:

Pe Z se considera legile de compozitie x○y = x + y + 2 si x*y = xy + 2x + 2y + 2. Sa se arate ca (Z,○,*) este inel comutativ.

Se numeste inel o multime nevida R inzestrata cu doua operatii, adunarea (notata cu + ) si inmultirea (notata cu ●), care are urmatoarele proprietati:

a) (R,+) este grup Abelian (comutativ);

b) (R,●) este grup monoid (semigrup);

c) Inmultirea este distributiva la stanga si la dreapta fata de adunare.

Daca inmultirea este comutativa, inelul se numeste comutativ.

1. Se verifica daca ○ este asociativa, stiind ca o lege ꓕ definita pe o multime R este asociativa daca este indeplinita relatia xꓕ(yꓕz) = (xꓕy)ꓕz pentru oricare x, y, z din multimea R:

x○(y○z) = x○(y + z + 2) = x + (y + z + 2) + 2 = x + y + z + 4

(x○y)○z = (x + y + 2) + z + 2 = x + y + z + 4

=> x○(y○z) = (x○y)○z

=> legea “○“ este asociativa

2. Se verifica daca ○ admite element neutru, stiind ca o lege ꓕ definita pe o multime R admite element neutru daca exista e din multimea R astfel incat xꓕe = eꓕx = x pentru orice x din multimea R:

x○e = e○x = x => x + e + 2 = e + x + 2 = x => x + (e + 2) = x =>

e + 2 = 0 => e = -2

=> legea ○ admite element neutru e = -2

3. Se verifica daca ○ admite elemente simetrizabile, stiind ca o lege ꓕ definita pe o multime R admite elemente simetrizabile daca este verificata relatia xꓕx’ = x’ꓕx = e, unde x’ din R este un simetric al lui x din R in raport cu legea ꓕ si e este elementul neutru al legii ꓕ:

x○x’ = x’○x = e => x + x’ + 2 = x’ + x + 2 = -2 => x’ = -(x + 4)

=> legea ○ admite elemente simetrizabile

4. Se verifica daca ○ este comutativa, stiind ca o lege ꓕ definita pe o multime R este comutativa daca este indeplinita relatia xꓕy = xꓕy pentru oricare x, y din multimea R:

x + y + 2 = y + x + 2 => x○y = y○x

=> legea ○ este comutativa

5. Se stabileste daca (Z,○) este grup abelian stiind ca un cuplu (R,ꓕ), unde ꓕ este o lege de compozitie pe R ≠ Φ, se numeste grup abelian daca legea ꓕ este asociativa, admite element neutru, admite elemente simetrizabile si este comutativa:

Legea ○ este asociativa, admite element neutru, admite elemente simetrizabile, este comutativa

=> (Z,○) este grup abelian

6. Se verifica daca * este asociativa, stiind ca o lege ꓔ definita pe o multime R este asociativa daca este indeplinita relatia xꓔ(yꓔz) = (xꓔy)ꓔz pentru oricare x, y, z din multimea R:

x*(y*z) = x*(yz + 2y + 2z + 2) = x(yz + 2y + 2z + 2) + 2x + 2(yz + 2y + 2z + 2) + 2 = xyz +2xy +2xz + 2x + 2x + 2yz + 4y + 4z + 4 + 2 = xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 6

(x*y)*z = (xy + 2x + 2y + 2)*z = (xy + 2x + 2y + 2)z + 2(xy + 2x + 2y + 2) + 2z + 2 = xyz + 2xz + 2yz + 2z + 2xy + 4x + 4y + 4 + 2z + 2 = xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 6

=> x*(y*z) = (x*y)*z

=> legea * este asociativa

7. Se verifica daca * admite element neutru, stiind ca o lege ꓔ definita pe o multime R admite element neutru daca exista e din multimea R astfel incat xꓔe = eꓔx = x pentru orice x din multimea R:

x*y = y*x = x => xe + 2x + 2e + 2 = ex + 2e + 2x + 2 = x => x(e + 2) + 2(e + 1) = x =>

e + 2 = 1 si 2(e + 1) = 0 => e = -1 si e = -1 => e = -1

=> legea * admite element neutru e = -1

8. Se stabileste daca (Z,*) este monoid, stiind ca un cuplu (R,ꓔ), unde ꓔ este o lege de compozitie pe R ≠ Φ, se numeste monoid daca legea ꓔ este asociativa si admite element neutru:

Legea * este asociativa si admite element neutru

=> (Z,*) este monoid

9. Se verifica daca legea * este distributiva in raport cu legea ○, stiind ca o lege ꓔ este distributiva in raport cu legea ꓕ, ambele legi fiind definite pe multimea R, daca este verificata relatia xꓔ(yꓕz) = (xꓔy) ꓕ (xꓔz) pentru orice x, y, z din multimea R:

x*(y○z) = x*(y + z + 2) = x(y + z + 2) + 2x + 2(y + z + 2) + 2 = xy + xz + 2x + 2x + 2y + 2z + 4 + 2 = x(y + z) + 2(2x + y + z) + 6

(x*y)○(x*z) = (xy + 2x + 2y + 2) + (xz + 2x + 2z + 2) + 2 = xy + 2x + 2y + 2 + xz + 2x + 2z + 2 + 2 = x(y + z) + 2(2x + y + z) + 6

=> x*(y○z) = (x*y)○(x*z)

(y○z)*x = (y + z + 2)x + 2(y + z + 2) + 2x + 2 = yx + zx + 2x + 2y + 2z + 4 + 2x + 2 = x(y + z) + 2(2x + y + z) + 6

(y*x)○(z*x) = (y*x) + (z*x) + 2 = (yx + 2y + 2x + 2) + (zx + 2z + 2x + 2) + 2 = x(y + z) + 2(2x + y + z) + 6

=> (y○z)*x = (y*x)○(z*x)

=> legea * este distributiva in raport cu legea ○

10. Se verifica daca legea * este comutativa, stiind ca o lege ꓔ definita pe o multime R este comutativa daca este indeplinita relatia xꓔy = xꓔy pentru oricare x, y din multimea R:

xy + 2x + 2y + 2 = yx + 2y + 2x +2 => x*y = y*x

=> legea * este comutativa

11. Se stabileste daca tripletul (Z, ○, *) determina o structura de inel comutativ, stiind ca tripletul (R,+,●), unde + si ● sunt doua operatii numite adunarea si respectiv inmultirea pe R, determina o structura de inel comutativ daca (R,+) este grup abelian, (R,●) este monoid, inmultirea ● este distributiva fata de adunarea + si inmultirea ● este comutativa:

- (Z,○) este grup abelian

- (Z,*) este monoid

- legea * este distributiva in raport cu legea ○

- legea “*” este comutativa

=> (Z, ○, *) este inel comutativ