Question

Paralela prin centrul de greutate al triunghiului ABC la AC intersecteaza laturile [AB] si [BC] in punctele E respectiv F.Calculati:BE/EA;FC/FB;BF/BC.

Problema 5,pagina 155,Manualul de Matematica,clasa a-VII-a.
Va rog frumos sa ma ajutati sa o rezolv!

Answer 1

Fie BM=mediana din varful B si G=centrul de greutate (care stim ca este intersectia medianelor si se afla la o treime de baza si doua treimi de varf). Avem:

$\frac{BG}{BM} = \frac{2}{3}$ , respectiv:

$\frac{GM}{BM} = \frac{1}{3}$

Impartind cele doua relatii membru cu membru obtinem:

$\frac{BG}{GM} = \frac{2}{1}$  (rel 1)

Din EG||AM obtinem segmentele proportionale:

$\frac{BE}{EA} = \frac{BG}{GM}$ = $\frac{2}{1}$  (din rel 1)

De asemenea, GF||MC determina segmentele proportionale:

$\frac{FC}{FB} = \frac{GM}{BG}$ = $\frac{1}{2}$  (din rel 1)

Deci FB=2FC si BC=FB+FC=2FC+FC=3FC si avem:

$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{2FC}{3FC} = \frac{2}{3}$