Paralelipipedul dreptunghic ABCDA' B'C' D are 20 AB =20 cm, BC = 16 cm si AA'=15
Q: Fie un punct Q situat pe muchia ' AA . Calculati lungimea segmentului QA astfel încât perimetrul
triunghiului B'QD sa fie minim.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
15/2cm.
Explicație pas cu pas:
AB=20cm, BC=16cm, AA'=15cm, Q∈AA'. QA=??? pt. care Perimetrul(ΔB'QD) sa fie minim.
Perimetrul(ΔB'QD) =B'Q+QD+B'D
Pozitia lui Q e variabila pe A'A, dar lungimea laturii B'D nu depinde de pozitia lui Q. Notam AQ=x. Vom exprima prin x laturile QD si B'Q.
Din ΔAQD, T.P. ⇒QD²=AQ²+AD²=x²+16².
Din ΔQA'B', T.P. ⇒QB'²=QA'²+A'B'²=(15-x)²+20².
Aplicam algebra la geometrie...
Cream functia f(x)=QD²+QB'² si aflam pentru care valoare a lui x, f(x) ia valoare minima. f(x)=x²+16²+(15-x)²+20²=x²+16²+15²-30x+x²+20²
Deci f(x)=2x²-30x+(16²+15²+20²), este functie de gradul II, graficul careia este parabola cu ramurile in sus si ia valoare minima in varful parabolei, deci pentru x=-(-30)/(2·2)=30/4=15/2.
Deci AQ=15/2cm si pentru aceasta valoare Perimetrul(ΔB'QD) va fie minim.
