Question

Pe diagonala AC a paralelogramului
ABCD se ia un punct oarecare M. Paralela prin M
la latura AD se intersectează cu laturile AB şi CD în E şi F, iar paralela prin M la latura CD
se intersectează cu laturile BC şi AD în G şi H.


Arătaţi că EH || FG







VA ROG FRUMOS AM NEVOIE ȘI DE IPOTEZĂ❤️ MULȚUMESC!

Answer 1

ABCD paralelogram

M ∈ (AC)

EF║AD, M ∈ (EF), E ∈ (AB), F ∈ (DC)

HG║AB, M ∈ (HG), E ∈ (AD), G ∈ (BC)

-------------------------------------------------------/-----

EH║FG

------------------//-----

demonstrație:

AB║HG║DC și AD║EF║BC  ⇒

⇒ BCFE, ABGH și AEMH paralelograme (toate perechile de laturi opuse sunt paralele)

ME║BC  ⇒  ΔAME ~ ΔACB

scriem raportul de proporționalitate între laturi:

$\displaystyle \frac{ME}{BC} =\frac{AE}{AB}$

dar BC ≡ EF (BCFE paralelogram), AB ≡ HG (ABGH paralelogram) și AE ≡ HM (AEMH paralelogram)

înlocuim în proporția de mai sus:

⇒  $\displaystyle \frac{ME}{EF} =\frac{HM}{HG}$

facem o proporție derivată:

$\displaystyle \frac{ME}{EF-ME} =\frac{HM}{HG-HM}$

⇒ $\displaystyle \frac{ME}{MF} =\frac{HM}{MG}$

⇒ avem laturi proporționale în ΔMEH și ΔMFG

∡HME ≡ ∡GMF (op. la vârf)  ⇒ (L.U.L.) ΔMEH ~ ΔMFG

⇒ ∡HEM ≡ ∡GFM, alterne interne, considerând EF secantă pentru dreptele HE și FG

⇒ HE║FG