Question

Pe G=(3,+infinit)/{4} se considera legea x#y=(x-3)^(ln(x-3))+3  ( x compus cu y = x-3 totul la puterea logaritm natural  din y-3 +3 (3 este jos la baza)) ;
Aratati ca G e parte stabila a lui R(multimea numerelor reale) in raport cu legea # si studiati comutativitatea(x#y=y#x) si asociativitatea( x#(y#z)=(x#y)#z )

Cum se face?

Answer 1

daca x ∈ ( 3 , +∞)   atunci x >3  ; x -3 >0    pozitiv , cond. de exponentiala
        y∈  ( 3 , +∞)             y-3 > ; y-3  >0    functia  f(t) = ln t este monton cres. 
                                         atunci  ln( y- 3)  >0 
---------------------         ⇒
           ln( y-3 )  
(x -3 )                   >0             / +3 

         ln( y -3 ) 
( x -3)                      + 3  >3 
               x× y                >3           ⇒  x×y ∈  (3 ,  +∞)  parte stabila  a lui R
comutativ. 
            ln( y-3)                        ln( x -3) 
 ( x-3 )                  +3 = ( y -3 )                 +3
         ln(y-3)                        ln( x -3)        
( x-3 )                   = ( y-3)                      logaritmam 
            ln( y-3)                 ln( x -3)         
ln ( x-3)                = ln( y-3)             propr.log
ln( y-3)·ln( x -3) = ln( x-3 ) · ln ( y -3 ) adev. ,lege comutativa