Question

Pe ipotenuza bc a triunghiului dreptunghic abc, se considera punctul P, iar punctele Q si R sunt simetricele punctului P fata de AB si AC.
Demonstrati ca: a) AP=AQ
b) AQ=AR
c) R A Q puncte coliniare.

Answer 1

din ipoteza avem QD=DP si QP⊥AB, in triunghiul AQP AD este mediana si inaltime ceea ce inseamna ca tr. AQP este isoscel, AQ=AP (1)
anaolog in tr. PAR , AE este inaltime si mediana, deci tr. PAR este isoscel, AP=AR (2)  din (1) si (2)  rezulta AQ=AR
din concluziile anterioare rezulta ca avem doua tr. isoscele, AQP si PAR in care AD respectiv AE sunt si bisectoare ( vezi proprietatile tr. isoscel)
am notat cu x si y unghiurile respective care se gasesc in urmatoarea relatie:
∡BAC=∡x+∡y=90°
∡QAP+∡PAR=x+x+y++y=180°
deci ∡QAR este un unghi alungit si ca drept consecinta punctele Q,A si R sunt coliniare