Question

Pe latura AB a patratului ABCD se considera un punct P . Dreptele DP si CP se intersecteaza cu prelungirile laturilor CB si DA in punctele M si respectiv N . Daca BM = m si AN =n (m>0, n>0) , calculati lungimea laturii patratului ABCD. Repede va rog !!!!!!

Answer 1

Notez cu x lungimea laturii patratului.

$\Delta NAP\sim\Delta NDC\Rightarrow \dfrac{n}{x+n}=\dfrac{AP}{x}\Rightarrow AP=\dfrac{nx}{x+n}$

$\Delta MBP\sim\Delta MCD\Rightarrow \dfrac{m}{x+m}=\dfrac{PB}{x}\Rightarrow PB=\dfrac{mx}{x+m}$

$AP+PB=x\Rightarrow\dfrac{nx}{x+n}+\dfrac{mx}{x+m}=x$ Simplificam prin x, apoi aducem la acelasi numitor;

$n(m+x)+m(x+n)=(x+n)(x+m)$

$mn+nx+mx+mn=x^2+nx+mx+mn$

$x^2=mn\Rightarrow x=\sqrt{mn}$