Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă xoy=xy-3(x+y)+12.

 

Calculaţi 1o2o...o2014 .

Answer 1

$x*y = xy-3(x+y)+12$

Aducem expresia la o formă mai convenabilă:

$xy - 3(x+y)+12 = xy - 3x - 3y + 12 + x - x$ (am adunat un x şi l-am scăzut, ca să pot da factor comun)

$= xy - 4x -3y+12 +x = x(y-4) -3(y-4) =$

Deci legea de compoziţie se mai poate scrie:

$x*y = (y-4)(x-3) + x$

După cum se observă, dacă x=3 sau y=4, rezultatul va fi x.

În acea operaţie cu 1*2*3*...*2014, avem la un moment dat 3*4, care, după cum am spus mai sus, ne dă 3. Legea este asociativă, deci putem compune acel 3 cu restul numerelor şi o să obţinem tot 3:

$1*2*3*4*...*2014=(1*2)*(3*4)*....*2014$

$=(1*2)*3*....*2014 = (1*2)*3 = 5*3 = 3$

=> 1*2*...*2014 = 3

(am folosit '*' în loc de 'o')