Question

Sa se calculeze determinantul matricei X=A+$A^{2}$+...+$A^{2010}$

A=$\left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&2\\\end{array}\right]$

Answer 1

$A^2= \left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}-2&-1\\3&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] = I_2$

$A^3=A^2*A=I_2*A=A$

$A^4=A^3*A = A^2=I_2$

$A^5=A^4*A=I_2*A=A$

=> Toate matricile care au exponent par o să fie egale cu I2, iar cele cu exponent impar sunt egale cu A.

Până la 2010 sunt 1005 cu puterea impară şi 1005 impară, deci suma lor o să fie:

$A+A^2+..+A^{2010} = 1005I_2 + 1005A$

$=\left[\begin{array}{ccc}1005*(-2)&1005*(-1)\\1005*3&1005*2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1005&0\\0&1005\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-1005&-1005\\3015&3015\end{array}\right]$

determinantul = 0