Question

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa
x*y=-2xy+10x+10y-45.
Determinati numerele naturale m si n pentru care m*n=27.

Answer 1

x*y=-2xy+10x+10y-45=-2x(y-5)+10(y-5)+50-45
x*y=-2(y-5)(x-5)+5
m*n=27
-2(m-5)(n-5)+5=27
-2(m-5)(n-5)=22|:(-2)
(m-5)(n-5)=-11
1)m-5=1 si n-5=-11⇒m=6 si n=-6( n nu este natural)
2)m-5=-11 si n-5=1⇒m=-6(m nu este natural) si n=6
3)m-5=-1 si n-5=11⇒m=4 si n=16
3)m-5=11 si n-5=-1⇒m=16 si n=6.

Answer 2

x*y=-2xy+10x+10y-45

m*n=27⇔- 2mn+10m+10n-45 =27 ⇔- 2mn+10m+10n =72 |:2 ⇔

⇔ -mn + 5m +5n =36|-25 ⇔ -mn + 5m + 5n - 25 =11 ⇔ -n(m-5) +5(m-5) = 11 ⇔

⇔(m-5)(5-n) =11 =11·1 =1·11

(m, n) ∈ {(16, 4),  (4, 16)}