Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=-\frac{3}{5} x y+x+y$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $x * y=-\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p b) Arătați că $\frac{5 x}{3} * \frac{5}{3 x} \geq \frac{5}{3}$, pentru orice $x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ c) Calculați $\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}$.

Answer 1

$x * y=-\frac{3}{5} x y+x+y$

a) Trebuie sa descompunem expresia

• Dam factor comun fortat pe $-\frac{3}{5}x$ si facem un artificiu de calcul prin  adaugarea si scaderea lui $\frac{5}{3}$

$-\frac{3}{5} x y+x+y=-\frac{3}{5} x(y-\frac{5}{3} )+y-\frac{5}{3} +\frac{5}{3} =(y-\frac{5}{3} )(-\frac{3}{5}x+1)+\frac{5}{3}$

• Dam factor comun fortat in a doua paranteza pe $-\frac{3}{5}$ si obtinem:

$(y-\frac{5}{3} )(-\frac{3}{5}x+1)+\frac{5}{3}=-\frac{3}{5}(y- \frac{5}{3} )(x-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3} =-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(y-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}$

b) Ne folosim de punctul a

$\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}(\frac{5x}{3} - \frac{5}{3} )(\frac{5}{3x} -\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}$

• In a doua paranteza aducem la acelasi numitor comun, a doua fractie amplfiica cu x si obtinem:

$\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}\times\frac{5x-5}{3}\times \frac{5-5x}{3x}+\frac{5}{3}$

$\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= -\frac{3}{5}\times\frac{5x-5}{3}\times \frac{5(1-x)}{3x}+\frac{5}{3}$

• Simplificam pe diagonala 3 cu 3 si 5 cu 5 si obtinem:

$\frac{5x}{3} *\frac{5}{3x}= \frac{5(x-1)^2}{3x} +\frac{5}{3}$

• Stim din cerinta ca x>0 si de asemenea stim ca orice numar la o putere para este un numar pozitiv, deci (x-1)²≥0 si x>0

Atunci 5(x-1)²≥0 si 3x>0, deci $\frac{5(x-1)^2}{3x} > 0$, adica  $\frac{5(x-1)^2}{3x}+\frac{5}{3}\geq \frac{5}{3}$

c) $\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}$

Calculam elementul absorbant

x*a=a

$x*a =-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )+\frac{5}{3}=a\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )=a-\frac{5}{3}\\\\-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )(a-\frac{5}{3} )-(a-\frac{5}{3})=0\\\\(a-\frac{5}{3})[-\frac{3}{5}(x- \frac{5}{3} )-1]=0\\\\a-\frac{5}{3}=0\\\\a=\frac{5}{3}$

$\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \ldots * \frac{2020}{3}=(\frac{1}{3} * \frac{2}{3}*...*\frac{4}{3} )*\frac{5}{3} *...*\frac{2020}{3} =$

Observam ca prima paranteza compusa cu $\frac{5}{3}$ ne va da $\frac{5}{3}$, deci vom avea

$\frac{5}{3} *(\frac{6}{3}* ...*\frac{2020}{3}) =\frac{5}{3}$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4631082

#BAC2022