Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=4 x-\ln \left(x^{2}+1\right)$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{2\left(2 x^{2}-x+2\right)}{x^{2}+1}, x \in \mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Calculați $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x+1)-f(x))$.

5p c) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Answer 1

$f(x)=4 x-\ln \left(x^{2}+1\right)$

a)

Utilizam formula de derivare (f-g)'=f'-g', iar apoi folosim formulele de derivare din tabelul de derivate compuse (cel atasat)

$f'(x)=(4x)'-(ln(x^2+1))'=4-\frac{(x^2+1)'}{x^2+1} =4-\frac{2x}{x^2+1}$

Aducem la acelasi numitor comun, amplficam pe 4 cu x²+1 si obtinem:

$f'(x)=\frac{4x^2+4-2x}{x^2+1} =\frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$

b)

Mai intai calculam f(x+1)-f(x), apoi calculam limita

$f(x+1)=4(x+1)-ln[(x+1)^2+1]=4x+4-ln(x^2+2x+2)$

$f(x+1)-f(x)=4x+4-ln(x^2+2x+2)-4x+ln(x^2+1)=4-ln(x^2+2x+2)+ln(x^2+1)=4-ln\frac{x^2+1}{x^2+2x+2}$

$\lim_{x \to \infty} 4-ln\frac{x^2+1}{x^2x+2} =4-ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2+2x+2} )$

Cand gradele numitorului si al numaratorului sunt egale, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari ale numaratorului, respectiv al numitorului. In cazul nostru, coeficientii sunt 1 si 1, deci raportul este 1

$\lim_{x \to \infty} 4-ln\frac{x^2+1}{x^2x+2} =4-ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2+2x+2} )=4-ln1=4-0=4$

c)

Ca o functie sa fie bijectiva, trebuie sa fie atat injectiva, cat si surjectiva

O functie strict monotona este injectiva

Vom studia monotonia si continuitatea

$f'(x)=\frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}=0$

2(2x²-x+2)=0

2x²-x+2=0

Δ=1-16=-15<0

Daca Δ<, atunci vom avea semnul lui a

a=2>0⇒ f este strict crescatoare pe R⇒ f este injectiva

$\lim_{x \to -\infty} 4x-ln(x^2+1)=-\infty-\infty=-(\infty+\infty)=-\infty$ (1)

$\lim_{x \to \infty} 4x-ln(x^2+1)=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata$

$Il\ scriem\ pe \ x=ln(e^x)$

$\lim_{x \to \infty} 4ln(e^x)-ln(x^2+1)= \lim_{x \to \infty} ln(e^4^x)-ln(x^2+1)= \lim_{x \to \infty} ln\frac{e^4^x}{x^2+1}=ln( \lim_{x \to \infty} \frac{e^4^x}{x^2+1})=ln\frac{\infty}{\infty}\ forma\ nedeterminata$

Aplicam L'Hospital, adica derivam numitorul si numaratorul

$ln( \lim_{x \to \infty} \frac{4e^{4x}}{2x+1} )=\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam L'Hospital

$ln( \lim_{x \to \infty} \frac{16e^{4x}}{2} )=+\infty$ (2)

Din (1) si (2) ⇒ f este surjectiva

f este injectiva si surjectiva⇒ f este bijectiva

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/787599

#BAC2022