Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă $x * y=(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y})^{5}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $2^{5} * 3^{5}=5^{5}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinați numărul real $x$, știind că $2^{5} * x^{5} *\left(243 x^{5}\right)=100000$.

$5 \mathbf{p}$ c) Se consideră numerele $M=1^{5} * 2^{5} * \ldots * 10^{5}$ şi $N=5^{5} \cdot 11^{5}$. Demonstrați că $M-N=0$.

Answer 1

$x * y=(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y})^{5}$

a) Inlocuim pe x cu 2⁵ si pe y cu 3⁵ si obtinem:

$2^5* 3^5=(\sqrt[5]{2^5}+\sqrt[5]{3^5})^{5}=(2+3)^5=5^5$

b) Calculam mai intai 2⁵*x⁵

$2^5 * x^5=(\sqrt[5]{2^5}+\sqrt[5]{x^5})^{5}=(2+x)^5$

Apoi calculam (2+x)⁵*(243x⁵)

$(2+x)^5 * 243x^5=(\sqrt[5]{(2+x)^5}+\sqrt[5]{243x^5})^{5}=(\sqrt[5]{(2+x)^5}+\sqrt[5]{(3x)^5})^{5}=(2+x+3x)^5=(4x+2)^5$

Nota: 243=3⁵, adica 243x⁵=(3x)⁵

Egalam si obtinem:

(4x+2)⁵=100 000

(4x+2)⁵=10⁵

Avand aceeasi putere se egaleaza bazele si obtinem:

4x+2=10

4x=8

x=2

c) Trebuie sa calculam M=1⁵*2⁵*...*10⁵

Mai intai calculam 1⁵*2⁵

Ne folosim de punctul a si obtinem:

1⁵*2⁵=(1+2)⁵=3⁵

Apoi continuam sa calculam 3⁵*3⁵

3⁵*3⁵=(3+3)⁵=6⁵

6⁵*4⁵=10⁵

10⁵*5⁵=15⁵

15⁵*6⁵=21⁵

21⁵*7⁵=28⁵

28⁵*8⁵=36⁵

36⁵*9⁵=45⁵

45⁵*10⁵=55⁵=(5×11)⁵

Practic, 1⁵*2⁵*...*10⁵=(1+2+...+10)⁵=55⁵

M=(5×11)⁵=5⁵×11⁵

Observam ca M=N, deci M-N=0

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4363719

#BAC2022