Question

Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x$.

$5 \mathbf{a}$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^{2}}, x \in(0,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty [tex] la graficul funcției [tex] f$.

5 p c) Demonstraţi că graficul funcției $f$ nu intersectează axa $O x$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x$

a)

Ne folosim de tabelul derivatelor (cel atasat)

$(\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

$f'(x)=(\frac{x-1}{x+1})'+(\ln (x+1))'-(\ln x)'=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2} +\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\\\\f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} =\frac{2+x+1}{(x+1)^2} -\frac{1}{x}$

Aducem la acelasi numitor, prima fractie amplificam cu x si pe a doua cu (x+1)²

$f'(x)=\frac{(3+x)x-(x+1)^2}{x(x+1)^2}=\frac{3x+x^2-x^2-2x-1}{x(x+1)^2}=\frac{x-1}{x(x+1)^2}$

b)

Pentru a determina ecuatia asimptotei orizontale, vom calcula limita spre +∞

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln\frac{x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+ \lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}$

Vom calcula cele doua limite, pe rand

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}=1$ (gradul numaratorului=gradul numitorului)

Nota: Daca gradele mari ale numaratorului, respectiv numitorului sunt egale atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor.

In cazul nostru coeficientii sunt 1 si 1, adica raport=1

$\lim_{x \to \infty} \ln\frac{x+1}{x}=ln( \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x})=ln1=0$ (gradul numaratorului=gradul numitorului)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1}+\ln (x+1)-\ln x= 1+0=1$

Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞ este y=1

c)

Studiem monotonia functiei

$f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^{2}}=0$

x-1=0

x=1

Facem tabel semn

x        -∞          0           1                 +∞

f'(x)                  | - - - - - 0  + + + + +    

f(x)                  |   ↓ ↓ ↓f(1) ↑ ↑ ↑ ↑

                                  ln2

f(1)=0+ln2-ln1=ln2

ln2>0⇒ Gf nu intersecteaza axa OX

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/743485

#BAC2022