Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziţie asociativă şi cu element neutru $x * y=x y-101 x-101 y+10302$.

5p a) Arătaţi că $x * y=(x-101)(y-101)+101$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinaţi numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea ,,*".

$5 p$ c) Determinaţi numerele întregi $x$ şi $y$, cu $x\ \textless \ y$, pentru care $x * y=202$.

Answer 1

$x * y=x y-101 x-101 y+10302$

a)

xy-101x-101y+10302

Dam factor comun intre primii doi termeni pe x si intre ultimii doi termeni pe 101

xy-101x-101y+10302=x(y-101)-101(y-101)+101

Dam factor comun pe y-101

xy-101x-101y+10302=x(y-101)-101(y-101)+101=(y-101)(x-101)+101

b)

Aflam elementul neutru:

x*e=x

(x-101)(e-101)+101=x

(x-101)(e-101)-(x-101)=0

(x-101)(e-101-1)=0

e-102=0

e=102

Aflam elementul simetric:

x*x'=e

In cerinta ne spune ca x=x'

Deci x*x=102

(x-101)(x-101)+101=102

(x-101)²=1

x-101=1

x=102

x-101=-1

x=100

c)

x*y=202

(x-101)(y-101)+101=202

(x-101)(y101)=101

x,y sunt numere intregi

101 este numar prim

Il vom scrie pe 101=101×1 sau 101=(-1)×(-101)

(x-101)(y101)=101×1

(x-101)(y101)=-101×(-1)

Caz 1:

x-101=101, x=202

y-101=1, y=102

Dar x<y, deci nu se poate pentru ca 202>102

Caz 2

x-101=1, x=102

y-101=101

y=202

102<202

Caz3:

x-101=-1

x=100

y-101=-101

y=0, nu se poate pentru ca 100>0

Caz 4:

x-101=-101

x=0

y-101=-1

y=100

Solutie finala: x=102 si y=202 sau x=0 si y=100

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4703505

#BAC2022

#SPJ4