Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ şi $M(x, y)=x I_{2}+y A$, unde $x$ şi $y$ sunt numere reale.

5p a) Arătați că det $A=-1$.

5p b) Demonstrați că $M(x, y) \cdot M(a, b)=M(x a+y b, x b+y a)$, pentru orice numere reale $a, b, x$ și $y$.

$5 p$ c) Determinați perechile $(x, y)$ de numere reale, știind că $\operatorname{det}(M(x, y))=4$ şi suma elementelor matricei $M(x, y) \cdot M(x, y)$ este egală cu 8 .

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$

a)

Calculam detA, facand diferenta dintre produsul diagonalelor determinantului

$detA=\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right|=0-1=-1$

b)

$M(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}x&0\\0&x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0&y\\y&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x&y\\y&x\end{array}\right)$

$M(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&a\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}x&y\\y&x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}xa+yb&xb+ya\\ya+xb&xa+yb\end{array}\right)=M(xa+yb,xb+ya)$

c)

det(M(x,y))=4

x²-y²=4

Ne folosim de punctul b

M(x,y)·M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)

M(x,y)·M(x,y)=M(x²+y²,2xy)

Suma elementelor M(x,y)·M(x,y)=M(x²+y²,2xy) este egala cu 8

2(x²+y²)+2×2xy=8 |:2

x²+y²+2xy=4

(x+y)²=4

Caz 1: x+y=2

x²-y²=4

(x-y)(x+y)=4

2(x-y)=4

x-y=2

x+y=2

Adunam si obtinem:

2x=4

x=2 si y=0

Caz 2: x+y=-2

(x-y)(x+y)=4

-2(x-y)=4

x-y=-2

x+y=2

Adunam si obtinem:

2x=0

x=0 si y=-2

Un alt exercitiu similar de bac il gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2721055

#BAC2022

#SPJ4