Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=3 x y-3 \sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}$.

$5 p$ a) Arătați că $\sqrt{2} \circ 1=\sqrt{2}$.

5 p b) Demonstrați că $x \circ y=3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p c) Calculați $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} \circ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \circ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \circ \ldots \circ \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}$.

Answer 1

$x \circ y=3 x y-3 \sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}$

a)

Inlocuim pe x cu √2 si pe y cu 1 si calculam:

$x\circ y=3\sqrt{2}-3\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)+6+\sqrt{2} =3\sqrt{2}-6-3\sqrt{2}+6+\sqrt{2}=\sqrt{2}$

b)

$3 x y-3 \sqrt{2}(x+y)+6+\sqrt{2}=3xy-3x\sqrt{2}-3y\sqrt{2}+6+\sqrt{2} =3x(y-\sqrt{2})- 3\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+\sqrt{2} =3(y-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}$

c)

Gasim elementul absorbant

x*a=a

$3(x-\sqrt{2})(a-\sqrt{2})+\sqrt{2}=a\\\\3(x-\sqrt{2})(a-\sqrt{2})-(a-\sqrt{2} )=0\\\\(a-\sqrt{2})(3x-3\sqrt{2} -1)=0\\\\ a-\sqrt{2}=0\\\\a=\sqrt{2}$

Orice numar compus cu √2 va da √2

Observam ca $\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{3} }=\sqrt{2}$

Deci raspunsul nostru va fi √2

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4728041

#BAC2022