Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}}{x}$.

5p a) Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=1$.
$5 p$ b) Arătați că $\int_{1}^{2} x^{3} f\left(x^{2}\right) d x=\frac{e(e-1)\left(e^{2}+e+1\right)}{2}$
$5 p$ c) Demonstrați că $\int_{1}^{e} f(x) d x+\int_{1}^{e} e^{x} \ln x d x=e^{e}$

Answer 1

$f(x)=\frac{e^{x}}{x}$

a)

Ai in atasament tabelul de derivate si integrale

$\int\limits^e_1 {\frac{\frac{e^x}{x} }{e^x} } \, dx =\int\limits^e_1{\frac{1}{x} } \, dx =lnx|_1^e=lne-ln1=1-0=1$

b)

$\int\limits^2_1 {x^3\frac{e^{x^2}}{x^2} } \, dx =\int\limits^2_1 xe^{x^2}\ dx$

Stim ca $(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$ (vezi tabelul din atasament)

Facem un artificiu de calcul, adaugam un 2 si "il dam inapoi" prin operatie inversa

$\frac{1}{2} \int\limits^2_1 2xe^{x^2}\ dx=\frac{1}{2}e^{x^2}|_1^2=\frac{1}{2}(e^4-e^1)=\frac{e(e^3-1)}{2} =\frac{e(e-1)(e^2+e+1)}{2}$

c)

Luam integrala separat:

$\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx$

O integram prin parti:

$f=lnx\ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x}\\\\ g'=e^x\ \ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=e^xlnx|_1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx$

Inlocuim integrala calculata mai sus in cerinta noastra:

$\int\limits^e_1{\frac{e^x}{x} } \, dx +e^xlnx|_1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx =e^xlnx|_1^e=e^elne-e^eln1=e^e$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4093186

#BAC2022