Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $x * y=x y-4(x+y)+20$.

$5 p$ 1. Arătați că [tex]$4 * 2020=4$[tex].

5p 2. Demonstrați că $x * y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

$5 p$ 3. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x * x \leq 5$.

5p 4. Arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziţie ,, $* "$.

5p 5. Determinați numerele reale $x$ pentru care $4^{x} * x=4$.

5p 6. Arătați că $1 * 2 * 3 * 4 * \ldots * 2020=4$.

Answer 1

$x * y=x y-4(x+y)+20$

1)

Inlocuim pe x cu 4 si pe y cu 2020 si obtinem:

8080-4(4+2020)+20=8080-8096+20=-16+20=4

2)

xy-4(x+y)+20=xy-4x-4y+16+4=x(y-4)-4(y-4)+4=(y-4)(x-4)+4

3)

x*x≤

(x-4)(x-4)+4≤5

x²-8x+16+4-5≤0

x²-8x+15≤0

Δ=64-60=4

$x_1=\frac{8-2}{2} =3\\\\x_2=\frac{8+2}{2} =5$

tabel semn

x                    -∞             3          5              +∞

x²-8x+15   + + + + + + + 0 - - - -  0 + + + + +

x∈[3,5]

4)

Elementul neutru

x*e=x

(x-4)(e-4)+4=x

(x-4)(e-4)-(x-4)=0

(x-4)(e-4-1)=0

e-5=0

e=5

5)

$4^x*x=4\\\\(4^x-4)(x-4)+4=4\\\\(4^x-4)(x-4)=0\\\\4^x-4=0\\\\x=1\\\\sau\\\\x-4=0\\\\x=4$

6)

Elementul absorbant

x*a=a

(x-4)(a-4)+4=a

(x-4)(a-4)-(a-4)=0

(a-4)(x-4-1)=0

a-4=0

a=4

Orice numar compus cu 4 va da 4

Deci, 1*2*3*4*...*2020=4

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928503

#BAC2022

#SPJ4