Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x+y+50$.

$5 \mathbf{p}$ 1. Arătați că $(-1) \circ 1=50$.

5p 2. Arătați că legea de compoziţie ,, $\circ$" este asociativă.

5p 3. Verificați dacă $e=-50 [tex] este elementul neutru al legii de compoziție ,,[tex] \circ$ ".

5p 4. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $x^{2} \circ x=92$.

5p 5. Demonstrați că $\left(x^{2}-y-50\right) \circ\left(x-y^{2}\right)=(x-y)(x+y+1)$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 6. Determinați numerele naturale $m$ și $n$, știind că $\left(\left(m^{2}-n-50\right) \circ\left(m-n^{2}\right)\right) \circ(m-n)=57$.

Answer 1

$x \circ y=x+y+50$

1)

Inlocuim pe x cu -1 si pe y cu 1 si obtinem:

-1+1+50=0+50=50

2)

Asociativitatea

(x*y)*z=x*(y+z)

(x+y+50)*z=x*(y+z+50)

x+y+50+z+50=x+y+z+50+50

x+y+z+100=x+y+z+100

Sunt egale, deci legea este asociativa

3)

Elementul neutru

x*e=x

x+e+50=x

e+50=0

e=-50

4)

$x^2\circ x=92\\\\x^2+x+50=92\\\\x^2+x-42=0\\\\\Delta=1+168=169\\\\x_1=\frac{-1+13}{2} =6\\\\x_2=\frac{-1-13}{2} =-7$

5)

$(x^2-y-50)\circ (x-y^2)=(x-y)(x+y+1)\\\\x^2-y-50+x-y^2+50=x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)$

6)

Ne folosim de punctul anterior:

$(m^2-n-50)\circ (m-n^2)\circ (m-n)=57\\\\(m-n)(m+n+1)\circ (m-n)=57\\\\(m-n)(m+n+1)+(m-n)+50=57\\\\(m-n)(m+n+1+1)=7\\\\(m-n)(m+n+2)$

Cum m si n sunt numere naturale vom avea:

m-n=1

m+n+2=7

Le adunam si obtinem:

2m+2=8

2m=6

m=3 si n=2

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928496

#BAC2022

#SPJ4