Question

Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziţie $x * y=x+y-9$.

5p 1. Arătaţi că $2 * 7=0$.

$5 p$ 2. Arătați că legea de compoziţie,,*" este asociativă.

5p 3. Demonstrați că $x *(x+9)=(x+5) *(x+4)$, pentru orice număr real $x$.

5p 4. Determinaţi numărul real $x$ pentru care $5^{x} * 25^{x}=21$.

$5 p$ 5. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $(n * n) * n\ \textless \ -12$.

5p 6. Arătați că numărul $\frac{3}{2-\sqrt{3}} * \frac{3}{2+\sqrt{3}}$ este natural.

Answer 1

$x * y=x+y-9$

1)

Inlocuim pe x cu 2 si pe y cu 7 si obtinem:

2+7-9=9-9=0

2)

Asociativitatea

(x*y)*z=x*(y*z)

(x+y-9)*z=x*(y+z-9)

x+y-9+z-9=x+y+z-9-9

x+y+z-18=x+y+z-18

Sunt egale, deci legea este asociativa

3)

x*(x+9)=(x+5)*(x+4)

x+x+9-9=x+5+x+4-9

2x=2x Adevarat

4)

$5^x*25^x=21\\\\5^x+25^x-9=21\\\\Notam\ 5^x=t\\\\t+t^2-9-21=0\\\\t^2+t-30=0\\\\\Delta=1+120=121\\\\t_1=\frac{-1+11}{2} =5\\\\x=1\\\\t_2=\frac{-1-11}{2} < 0\ NU$

5)

(n*n)*n<-12

(n+n-9)*n<-12

2n-9+n-9<-12

3n<6

n<2

n={0,1,2}

6)

$\frac{3}{2-\sqrt{3} } *\frac{3}{2+\sqrt{3} } =\frac{3}{2-\sqrt{3} } +\frac{3}{2+\sqrt{3} } -9$

Rationalizam, amplificam cu conjugata

$\frac{3(2+\sqrt{3} )}{4-3} +\frac{3(2-\sqrt{3} )}{4-3} -9=6+3\sqrt{3} +6-3\sqrt{3} -9=12-9=3\in N$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9928499

#BAC2022

#SPJ4