Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziţie asociativă şi cu element neutru $x * y=x y-101 x-101 y+10302$.

5p a) Arătaţi că $x * y=(x-101)(y-101)+101$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinaţi numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea ,,*".

$5 p$ c) Determinaţi numerele întregi $x$ şi $y$, cu $x\ \textless \ y$, pentru care $x * y=202$.

Answer 1

Răspuns:

a) $x*y=x(y-101)-101(y-101)+101=(x-101)(y-101)+101$

b) Fie e elementul neutru.

$x*e=e*x=x, \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow (x-101)(e-101)+101=x\Rightarrow\\\Rightarrow (x-101)(e-102)=0, \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow e=102$

Fie $x'$ simetricul lui $x$

$x*x'=x'*x=e\Rightarrow (x-101)(x'-101)+101=102\Rightarrow(x-101)(x'-101)=1\Rightarrow\\\Rightarrow x'-101=\displaystyle\frac{1}{x-101}\Rightarrow x'=\frac{1}{x-101}+101, \ \forall x\in\mathbb{R}-\{101\}$

$x=x'\Rightarrow x=\displaystyle\frac{1}{x-101}+101\Rightarrow(x-101)^2=1\Rightarrow x_1=101, \ x_2=100$

c) $(x-101)(y-101)+101=202\Rightarrow (x-101)(y-101)=101$

101 este număr prim, deci avem cazurile:

$x-101=1, \ y-101=101\Rightarrow x=102, y=202$

$x-101=-101, \ y-101=-1\Rightarrow x=0, y=100$

Explicație pas cu pas: