Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ şi $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\ 2+x & 4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

5p 1. Arătați că det [tex]$A=-18$/tex].

5p 2. Arătați că $A \cdot B(0)-B(0) \cdot A=6\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$.

5p 3. Arătați că $\operatorname{det}(B(x))=(2-x)(x+4)$, pentru orice număr real $x$.

5p 4. Arătați că det $(A+B(2))\ \textless \ \operatorname{det} A+\operatorname{det}(B(2))$.

5p 5. Demonstrați că $B(x) \cdot B(y)=B(y) \cdot B(x)$ dacă şi numai dacă $x=y$.

$5 p$ 6. Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $B(1)+B(2)+B(3)+\ldots+B(n)=\left(\begin{array}{cc}200 & 5050 \\ 5250 & 400\end{array}\right)$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 6 & 9\end{array}\right)$

$B(x)=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\ 2+x & 4\end{array}\right)$

1.

detA=0-18=-18

Facem diferenta dintre produsul celor doua diagonale

2.

$A\cdot B(0)=\left(\begin{array}{ll}6 & 12 \\ 30 & 36\end{array}\right)$

$B(0)\cdot A=\left(\begin{array}{ll}0 & 6 \\24& 42\end{array}\right)$

$A\cdot B(0)-B(0)\cdot A=\left(\begin{array}{ll}6 &6 \\ 6 & -6\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 &-1\end{array}\right)$

3.

det(B(x))=(2-x)(4+x)

det(B(x))=8-2x-x²=-x²-2x+8=-x²-4x+2x+8=-x(x+4)+2(x+4)=(2-x)(x+4)

4.

det(A+B(2))<detA+det(B(2))

$A+B(2)=\left(\begin{array}{ll}2 &5 \\ 10 & 13\end{array}\right)\\\\det(A+B(2))=26-50=-24$

detA=-18

detB(2)=8-8=0

-24<-18+0

-24<-18 Adevarat

5.

$B(x)=\left(\begin{array}{cc}2 & x \\ 2+x & 4\end{array}\right)$

$B(y)=\left(\begin{array}{cc}2 & y \\ 2+y & 4\end{array}\right)$

$B(x)\cdot B(y)=\left(\begin{array}{cc}4+2x+xy & 2y+4x \\ 12+2x+4y &16+2y+xy\end{array}\right)$

$B(y)\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}4+2y+xy & 2x+4y \\ 12+2y+4x &16+2x+xy\end{array}\right)$

Sunt egale daca x=y

4+2x+xy=4+2y+xy

2x=2y

x=y

6.

$B(1)+B(2)+...+B(n)=\left(\begin{array}{cc}2n & 1+2+..+n \\ 2n+1+2+...+n &4n\end{array}\right)=\\\\=\left(\begin{array}{cc}2n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 2n+\frac{n(n+1)}{2} &4n\end{array}\right)$

2n=200

n=100

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9956695

#SPJ4