Question

Pe R se considera legea: x*y=x+y-3
a). Aratati ca x*x=2x-3
b). Aratati ca (r, *) grup abelian.

Answer 1

a)
este o gluma practic... in x*y=x+y-3 in loc de y punem x si obtinem x*x=x+x-3 adica x*x=2x-3.

b) 
Evident x*y=x+y-3 apartine R, oricare ar fi x,y apartin R.

x*y=x+y-3=y+x-3=y*x, oricare ar fi x,y apartin R. => comutativitatea.
x*3=x+3-3=x=3*x, oricare ar fi x apartine R. => e=3 este elementul neutru.
x*(y*z)=x*(y+z-3)=x+(y+z-3)-3=x+y+z-6=(x+y-3)+z-3=(x*y)+z-3=(x*y)*z, oricare ar fi x,y,z apartin R. => asociativitatea.
x*(6-x)=(6-x)*x=x+(6-x)-3=3=e, oricare ar fi x apartine R. => fiecare element x din R este inversabil avand inversa 6-x.

Pe baza celor demonstrate mai sus deducem ca (R,*) este grup abelian.