Question

Pentru care valori ale lui a si b sistemul $\left \{ {{x+y=a} \atop {3x-by=2}} \right.$ admite o infinitate de solutii? Mersi.

Answer 1

Un pic de teorie:
Daca avem un sistem de n necunoscute si n-k ecuatii, (k ≥1 si k<n), atunci avem o infinitate de solutii. (de exemplu 3 necunoscute si 2 ecuatii)
-----
Daca aven un sistem de n ecuatii si n necunoscute, nu avem garantia ca sistemul are solutie unica. Daca nu are solutie unica atunci are o infinitate de solutii.
Sistemul de n ecuatii si n necunoscute are solutie unica doar daca ecuatiile sunt independente.
 De exemplu, sistemul:
x + y = 5
x + y = 5
Are doua 2 ecuatii si  2 necunoscute dar are o infinitate de solutii.  
-----
Pentru ca sistemul din enunt sa aiba o infinitate de solutii, vom face ecuatiile dependente de tipul: E2 = K × E1


[tex]\displaystyle \left \{ {{x+y=a~~~(E_1)} \atop {3x-by=2~~~(E_2)}} \right \\ \\ \frac{E2}{E1} =k \\ \\ \text{Pe k il calculam din raportul coeficientilor necunoscutei x} \\ \\ \Longrightarrow ~~k = \frac{3}{1} =\boxed{3} \\ \\ \text{Il calculam pe b, din raportul coeficientilor necunoscutei y : } \\\\\frac{-b}{1}=3 ~~\Longrightarrow ~~-b = 3 ~~\Longrightarrow ~~ b = \boxed{-3} \\\\\text{Il calculam pe a, din raportul termenilor liberi: } [/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2}{a} =3 ~~\Longrightarrow~~ 2=3a ~~\Longrightarrow~~ a = \boxed{\frac{2}{3}} \\ \\ \text{Rezulta sistemul de ecuatii:} \\ \\ \left \{ {{x+y= \frac{2}{3}~~~~~(E_1) } \atop {3x+3y=2}~~~~~(E_2)} \right \\ \\ \text{Observam ca daca impartim ecuatia }~ E_2 ~\text{la 3, se obtine ecuatia }E_1 .\\ \text{Asta inseamna ca ecuatiile sunt dependente.} [/tex]