Question

Pentru m € R, consideràm ecuatia 2? - (3m + 1)2 + à = 0.
Fie A = {m € R| ecuatia are douà solutii reale distincte} si
B= {m E R ecuatia are solutii de semne contrare }. Determinati A si B.

Answer 1

Răspuns:

Varianta corectă de răspuns este f):

A = (-∞ , -2/3) ∪ (0, +∞)

B = ∅

Explicație pas cu pas:

Începem cu mulțimea B pentru că e mai simplu.

$x^{2} - (3m+1)x + \frac{1}{4} = 0$

$x_{1} *x_{2} = \frac{1}{4}$   (asta este din relațiile lui Viette)

Cum 1/4 este pozitiv, înseamnă că x₁ și x₂ au același semn.

Cu alte cuvinte, mulțimea B = ∅      (1)

Acum ne ocupăm de mulțimea A.

Pentru ca ecuația să aibă două soluții reale, trebuie ca Δ > 0

Δ = (3m+1)² - 4×(1/4) = 9m² + 6m

Trebuie să determinăm semnul funcției 9m² + 6m  (care este o funcție de gradul 2).

Determinantul acestei funcții este 36, iar rădăcinile ei sunt -2/3 și 0

Asta înseamnă că funcția f(m) = 9m² + 6m are următoarele semne:

- pentru m ∈ (-∞ , -2/3) funcția este pozitivă;   (2)

- pentru m ∈ (-2/3 , 0) funcția este negativă;

- pentru m ∈ (0 , +∞) funcția este pozitivă.       (3)

Din condițiile (1), (2) și (3) rezultă:

B = ∅

A = (-∞ , -2/3) ∪ (0, +∞)

Varianta corectă de răspuns este f).

Answer 2

Răspuns:

f)

Explicație pas cu pas:

$x^{2} -(3m+1)+\frac{1}{4}=0$

a = 1; b = -(3m+1); c = 0

A.

ecuatia are doua solutii reale distincte => Δ > 0

$(-3m-1)^{2} -4*\frac{1}{4} > 0\\9m^{2}+6m+1-1 > 0\\ 3m(3m+2) > 0$

m∈(-∞;-$\frac{2}{3}$)∪(0;∞)

B.

$x^{2} -Sx+P=0\\S=-\frac{b}{a}; P=\frac{c}{a}$

ecuatia are solutii de semne contrare => P < 0

dar $P = \frac{1}{4} > 0$

=> m = Ф