Question

pleassseee ajutooorrr diiinnn sufleeettt :( => Sa se determine domeniul de continuitate al functiei f:E->R , in cazurile : 1) f(x)=(x^2-1)/(x+1) ; 2) f(x)=sqrt(x+1) ; 3) f(x)=e^x+ln x ; 4) f(x)=(x^2+1)/(x+2)+sin x ; 5) f(x)=(x^2+x)ln x ; 6) f(x)=sqrt(x-1)e^x ; 7) f(x)=|x^2+x|+1 ; 8) f(x)=max(x,2x+1) . :((((

Answer 1

1) R\{-1}
2) [-1, +infinit)
3) (0, +infinit)
4) R\{-2}
5) (0, +infinit)
6) [1, +infinit)

Acestea reies imediat din faptul ca functiile elementare, respectiv compunerile acestora sunt continue pe domeniul lor de definitie.

La 7 si la 8 trebuie sa explicitezi modulul, respectiv maximul, obtinand o functie cu acolada, continua pe ramuri, dar necunoscand proprietatea in punctul in care isi schimba forma. Calculezi limitele laterale in punctul in care isi schimba forma functia, si verifici daca sunt egale intre ele, respectiv cu valoarea functiei in acel punct.

De exemplu, la 8:

$max(x, 2x+1)= \left \{ {{x,x \leq 2x+1} \atop {2x+1, x > 2x+1}} \right. = \left \{ {{x, x \geq -1} \atop {2x+1, x<-1}} \right.$

Observam ca:
$\lim_{x \to \-1, x<-1} f(x)= -1\\ \lim_{x \to \-1, x>-1} f(x)=2*(-1)+1=-1\\ f(-1)=-1$

Din cele 3 relatii rezulta ca functia de la 8) este continua in punctul x=-1.
Ea fiind continua pe fiecare din ramuri (functii polinomiale, deci elementare, continue), va fi continua pe R.

Asemanator procedezi si la 7, doar ca vei avea de-a face cu un tabel de semn al functiei de gradul 2 pentru a stabili ramurile functiei.