Matematică, întrebare adresată de R3dV1p3r, 9 ani în urmă

Pn=(1-1/4)(1-1/9)...(1-1/n^2), n>=2

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de getatotan
2
1 - 1 /2² = ( 1 - 1 / 2) · ( 1 + 1 /2) = 1 / 2    ·   3 /2 
1  - 1 / 3² =( 1 - 1 /3)  · ( 1+  1 /3)  = 2 / 3   ·  4 / 3 
 1 -  1 / 4² =( 1 - 1 /4 ) · ( 1 + 1 /4)  = 3 / 4  ·  5 / 4
............................................................................
( 1  - 1 / n²) = ( 1 - 1/n) ·( 1 + 1 /n)  = ( n -1) / n  ·  ( n + 1) / n 

-------------------------------------------------------------------------------
produsul  =                                            ⇅                        ⇅
                                         simplificari                              simplificari 

produsul = ( n + 1) /  2n

GreenEyes71: Lipseşte ceva la numitor...
GreenEyes71: Mă refer la rezultatul final...
Răspuns de GreenEyes71
2

P_n=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\ldots\dfrac{n^2-1}{n^2}=\left(\dfrac{2-1}{2}\cdot\dfrac{2+1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{3-1}{3}\cdot\dfrac{3+1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot\left(\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{n}\right)=\\=\left(\dfrac{1}{2}\cdot{\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{3}\cdot{\dfrac{4}{3}\right)\cdot\left({\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{4}\right)\cdot\ldots\cdot\left( \dfrac{n-2}{n-1}\cdot{\dfrac{n}{n-1}\right)\cdot\left({\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{n}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n+1}{2n}.

R3dV1p3r: raspunsul dvs este corect
GreenEyes71: Da, m-am străduit să fie cât mai explicit şi evident cât mai corect. Să vă fie de folos !
R3dV1p3r: Multumesc! :)
Alte întrebări interesante