Question

Prin metoda inducției matematice ,sa se demonstreze inecuatia.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{ {2}^{2} } = 2 - \dfrac{1}{2^{1 + 1}} \\ \iff \dfrac{4 + 2 + 1}{4} = 2 - \dfrac{1}{4} \\ \iff \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{4} \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) \ (A) : 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^{n + 1}} = 2 - \dfrac{1}{2^{n + 1}}$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \underbrace{1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^{n + 1}}}_{P(n)} + \dfrac{1}{2^{(n + 1) + 1}} =$

$= 2 - \dfrac{1}{2^{n + 1}} + \dfrac{1}{2^{n + 2}} = 2 - \dfrac{2}{2 \cdot 2^{n + 1}} + \dfrac{1}{2^{n + 2}}$

$= 2 - \dfrac{2}{2^{n + 2}} + \dfrac{1}{2^{n + 2}} = 2 - \dfrac{2 - 1}{2^{n + 2}}$

$= 2 - \dfrac{1}{2^{n + 2}} = 2 - \dfrac{1}{2^{(n + 1) + 1}} \implies P(n + 1) \ (A)$