Question

Prin patratul unui numar rational pozitiv m/n se intelege numarul rational m²/n² . Demonstrati ca patratul unui numar rational pozitiv nu poate fi: a) 2 .

Answer 1

Salut ,

Sa presupunem ca patratul numarului rational pozitiv m / n, unde m, n ∈ ℕ, n ≠ 0, este 2. Aceasta inseamna ca m² / n² = 2. Putem presupune fractia m / n ireductibila . In caz contrar , o simplificam pana cand devine ireductibila. Daca m / n este ireductibila, atunci (m, n) = 1.
Deoarece m² / n² = 2, rezulta m² = 2n², de unde: 2 | m² => 2 | m => m = 2k, unde k ∈ ℕ*. Din m² = 2n² rezulta (2k)² = 2n², de unde 4k² = 2n² => 2k² = n² => 2 | n² => 2 | n. Prin urmare, 2 | m si 2 | n, ceea ce nu este adevarat, deoarece (m, n) = 1.

Answer 2

[tex]\it Fie \ \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}_{+} \ \ \ \ \ (1) \\\;\\ \\\;\\ \left(\dfrac{a}{b} \right)^2 =2 \Leftrightarrow \sqrt{\left(\dfrac{a}{b} \right)^2} =\sqrt2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} =\sqrt2 \ \ \ \ \ (2) \\\;\\ \\\;\\ \sqrt2 \notin{\mathbb{Q}} \ \ \ \ \ (3) [/tex]

$\it (1),\ (3) \Longrightarrow egalitatea\ \ (2) \ este\ fals\breve{a}$

Prin urmare, pătratul unui număr rațional nu poate fi egal cu 2.