Question

Prisma patrulatera ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD de latura 6 cm și AA’=6 radical din 2 cm. Determinați: a) unghiul format de dreptele A’C și AD
b) unghiul format de dreptele A’C și AB
c) cotangenta unghiului format de dreptele D’C și AB

Answer 1

din considerente de simetrie unghiurile de la pctele a) sib) au valori egale

 

Answer 2

a) Desenăm prisma patrulateră regulată. Notăm baza ABCD în sens trigonometric, începând din stânga jos. 

Scriem 6√2 pe AA' și scriem 6 pe AB și pe BC.

A'C este diagonală a prismei. Cu teorema lui Pitagora în spațiu ⇒ A'C =12cm

Vom scrie 12 pe A'C .

Dreptele A'C și AD sunt necoplanare. 
 
BC||AD ⇒  m(∡ A'C, AD) = m(∡ A'C, BC) = m( ∡A'CB )

Triunghiul A'AB este dreptunghic în A și cu teorema lui Pitagora va rezulta

că  A'B = 6√3. Vom scrie 6√3 pe  A'B .

Cu reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul  A'B C ⇒ triunghiul este dreptunghic în B.

Cu reciproca teoremei unghiului de 30° în triunghiul  A'B C ⇒ m(∡A') = 30°

Deci, m( ∡A'CB ) = 60° (complementul lui 30°).

Așadar,  m(∡ A'C, AD) = m(∡ A'C, BC) = m( ∡A'CB) = 60°.

b)  Desenăm prisma patrulateră regulată. Notăm baza ABCD în sens invers trigonometric, începând din stânga jos. 

Scriem 6√2 pe AA' și scriem 6 pe AD și pe BC.

A'C este diagonală a prismei. Cu teorema lui Pitagora în spațiu ⇒ A'C =12cm

Vom scrie 12 pe A'C .

Dreptele A'C și AB sunt necoplanare. 
 
DC||AB ⇒  m(∡ A'C, AB) = m(∡ A'C, DC) = m( ∡A'CD)

Observăm analogia cu punctul a).

Prin urmare, m(∡ A'C, AB) = 60°.

c) Desenăm prisma patrulateră regulată. Notăm baza ABCD în sens trigonometric, începând din stânga sus. 

Scriem 6√2 pe DD' și scriem 6 pe AB și pe DC.

Dreptele D'C și AB sunt necoplanare. 
 
DC||AB ⇒  m(∡ D'C, AB) = m(∡ D'C, DC) = m( ∡D'CD)

Triunghiul D'DC este dreptunghic în D și are catetele DC = 6, D'D =6√2

ctg(D'CD) = DC/DD' = 6/6√2 = 1/√2 = √2/2.