Question

Problema 1 Studiați monotonia șirului de numere reale (n)n>1, cu termenul general Xn = 2n Σ k=n 1 n ≥ 1.​

Answer 1

Răspuns:

Calculăm diferența a doi termeni consecutivi:

$x_{n+1}-x_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+2}\dfrac{1}{k}-\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k}=\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\\-\dfrac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)} < 0$

Deci

$x_n > x_{n+1}, \ \forall n\ge 1$

deci șirul este strict descrescător.

Explicație pas cu pas: