Question

Problema 6 repede pls

Answer 1

Interesanta problema. Mi-a luat putin sa ii dau de capat. Nu va stiu nivelul, dar e destul de grea. Si desigur, explicatia lunga.

Voi incepe cu niste notatii pe care eu le am pe figura mea. Mijlocul laturilor AB, BC, respectiv AC le-am notat cu M, N, respectiv P.

Incepem cu partile evidente. Dupa desenarea figurii se vor observa cateva congruente de triunghiuri. Anume:

Comparam ΔBA'N cu ΔCON

A'N≡NO (datele problemei)

BN≡NC (datele problemei)

∡BNA'≡∡CNO (unghiuri opuse la varf)

Rezulta ca ΔBA'N ≡ ΔCON. De aici rezulta ca A'B≡OC si ca ∡BA'N≡∡CON.

Pentru ca ∡BA'N≡∡CON, am demonstrat o pereche de congruente de unghiuri. Ce inseamna asta? Ca am demonstrat ca A'B║CO (din definitia a doua drepte paralele, cu secanta A'O).

Comparam ΔPOC cu ΔPAB'

AP≡PC (datele problemei)

B'P≡PO (datele problemei)

∡B'PA≡∡OPC (unghiuri opuse la varf)

Rezulta ca ΔPOC ≡ ΔPB'A. De aici rezulta ca AB'≡OC si ca ∡AB'P≡∡COP.

Pentru ca ∡AB'P≡∡COP, am demonstrat o pereche de congruente de unghiuri. Am demonstrat ca AB'║OC (din definitia a doua drepte paralele, cu secanta B'O).

Pentru ca: A'B≡OC si AB'≡OC ⇒ A'B≡AB'

Si, pentru ca: A'B║OC si AB'║OC ⇒ A'B║AB'

Se observa ca se intampla acelasi lucru pentru mai multe triunghiuri. Asa ca, analong vom obtine urmatoarele:

A'C≡AC' si A'C║AC'

B'C≡BC' si B'C║BC'

Pana aici totul bine si frumos. Dar cum ajungem sa demonstram ca acele 3 drepte concureaza in acelasi punct? Le vom lua pe rand. Stim ca fiecare din cele 2 vor concura intr-un punct. Si le vom nota astfel:

AA'∩BB'={J}

BB'∩CC'={K}

CC'∩AA'={L}

Momentan stim doar ca ele se vor intalni intr-un punct, fiecare 2 drepte in parte, dar nu stim ca J,K,L sunt acelasi punct. Adica ceea ce cere problema sa demonstram.

Si acum. Cum demonstram ca 3 puncte sunt identice? Trebuie sa aratam ca ele se suprapun. Cum facem asta? Aratam ca ele creaza relatii identice in pozitia in care se afla. Aratand ca cele 3 puncte formeaza aceleasi relatii de congruenta acolo unde se afla, atunci inseamna ca ele sunt identice.

Ca sa luminez putin calea, va trebui sa demonstram ca fiecare intersectie dintre cele 3 drepte imparte AA', BB' si CC' in 2 bucati congruente. Adica ca punctul de contact al fiecareia cu cealalta, se intampla de fapt in mijlocul celor 3 laturi.

Pentru a demonstra ca AA', BB' si CC' se injumatatesc. Daca va suna familiar acest termen "injumatatesc", este exact ultima bucatica necesara pentru rezolvare. Ne aducem aminte ca una din proprietatile unui paralelogram este ca diagonalele se injumatatesc. Daca reusim sa demonstram ca ABA'B' este paralelogram, vom demonstra automat ca punctul "J" imparte cele 2 diagonale in 2 bucati congruente. Exact ce ne trebuia noua sa demonstram, ca AJ≡JA' si BJ≡JB' (inca trebuie demonstrate).

Si asa pornim. Ca sa demonstram ca ABA'B' este paralelogram, va trebui sa ii demonstrez una din proprietati. Am ales sa demonstrez ca laturile opuse congruente. Stiu deja ca AB'≡BA', fiind demonstrat mai sus cu compararile de triunghiuri. Mai avem nevoie sa demonstram ca AB≡B'A'.

Comparam ΔABB' cu ΔBB'A'

AB'≡BA' (demonstrat mai sus)

BB'≡BB' (latura comuna)

∡A'BB'≡∡AB'B (unghiuri alterne interne pentru AB'║BA', cu secanta BB')

Rezulta ca ΔABB' ≡ ΔA'B'B. De aici rezulta ca AB≡A'B'.

Si cu asta am demonstrat ca ABA'B' este paralelogram. Asta inseamna ca AJ≡JA' si BJ≡JB'.

Acelasi lucru se va intampla si pentru paralelogramele ACA'C' si BCB'C'.

Asadar, analog vom sti si ca:

BK≡KB' si CK≡KC'

CL≡LC' si AL≡LA'

Si acum. Am obtinut ca:

AJ≡JA' si BJ≡JB'

BK≡KB' si CK≡KC'

CL≡LC' si AL≡LA'

Dar daca:

AJ≡JA' si AL≡LA' atunci J este identic cu L

BJ≡JB' si BK≡KB' atunci J este identic cu K

CL≡LC' si CK≡KC' atunci L este identic cu K

De aici rezulta AA', BB' si CC' se intalnesc de fapt intr-un singur punct unic, nu mai multe. Asadar AA', BB' si CC' sunt concurente.

Spor! Daca ai nelamuriri, anunta-ma.