Question

Pt fiecare număr natural nenul p , se consideră numărul Ip =integrala de la 0 la 1 din x^p*e^(x^2) dx. Calculati limita (n- >infinit ) din 1/n^2[e ^(1^2/n^2)+2e^(2^2/n^2)+....+ne ^(n^2/n^2)].

Answer 1

Sa facem notatia: $f(x)=xe^{x^2}$.

Acum, limita ta se scrie:

$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\left[e^{\frac{1^2}{n^2}}+...+ne^{\frac{n^2}{n^2}}\right]=\\ \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{i}{n^2}e^{\left(\frac{i}{n}\right)^2}=\\ \\ \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\left[\left(\dfrac{i}{n}\right)e^{\left(\frac{i}{n}\right)^2\right]\cdot\dfrac{1}{n}= \\ \\ \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot\dfrac{1-0}{n}=$

Am scris suma sub forma aceasta, ca sa fie evident ca avem de-a face cu o suma infinita Riemann, care de fapt defineste o integrala de la 0 la 1. Asa ca suma este egala cu:

$=\int\limits_{0}^{1}xe^{x^2}dx.$

Deci totul se reduce la a calcula integrala data.
Facem schimbarea de variabila $t=x^2$

Rezulta:

$dt=2xdx\\ \\ t(0)=0\\t(1)=1$

Integrala va deveni:

$I=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 e^tdt=\\ \\ =\dfrac{1}{2}(e-1).$

Si e gata!