Question

Punctele A, B, C, D sunt necoplanare şi AC=12 cm, BD=20cm. Să se determine perimetrul patrulaterului ale cărui vîrfuri sunt mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DA.
Ajutați-mă vă rog. Am idei dar nu ştiu cum să la implementez.

Answer 1

daca A,B,C,D sunt necoplanare atunci acestea determina o piramida oarecare si prin urmare desenul asta trebuie sa reprezinte.
presupunem (nu musai obligatoriu) ca A,B,C formeaza baza si D varful piramidei.
notam:
M mijlocul lui AB
N mijlocul lui BC
P mijlocul lui CD
Q mijlocul lui DA
observam ca:
in triunghiul ABC, MN e linie mijlocie ⇒ MN=AC/2=6 si MN║AC
in triunghiul ADC, QP e linie mijlocie ⇒ QP=AC/2=6 si QP║AC
din relatiile de mai sus si din faptul ca (ABC)∩(ADC)=[AC] rezulta ca
QP║MN ,  deci sunt paralele (teorema acoperisului) si egale
acelasi rationament in cazul triunghiurilor ABD si CDB unde gasim ca
QM=PN=DB/2=10 si in acelasi timp QM║PN
se poate afirma ca MNPQ este un paralelogram si are perimetrul P:
P=MN+NP+PQ+QM=6+10+6+10=32