Question

Punctele A,B,C si D sunt necoplanare. Fie M,N si P mijloacele segmentelor [BC], [CD] si respectiv [DB] , iar G1 , G2 si G3 centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,ACD si respectiv ADB. Aratati ca : a) G1G2 paralel cu planul (BCD)
b) Demonstrati ca (G1G2G3) paralel cu planul (BCD)
c) Calculati valoarea raportului perimetrelor triunghiurilor G1G2G3 si BCD
d) Calculati valoarea raportului ariilor triunghiurilor G1G2G3 si BCD

Answer 1

a) si b)
A,G1,M  coliniare pt ca ABC isosxcel AM mediana
A,G2,N  analog
AG1/AM=2/3 si AG2/AN=2/3⇒Thales G1G2||MN⇒MN⊂(BCD) G1G2||(BCD)

analog G2G3||NP⇒G2G3. G2G3⊂(BCD) ⇒G2G3||(BCD)
G2G3si G1G2 concurente  in G2⇒(G1G2G3)|| (BDC)

c) G1G2/MN=2/3
 dar MN=BD/2
eci G1G2/(BD/2)=2/3
2G1G2/BD=2/3
G1G2/BD=1/3
raportul ariilor unor tr.echilat esteegal cu raportul perimerel;or, deci rap perimetelor este tot1/3

d) raportul ariilor = (rap laturilor)²=(1/3)²=1/9