Question

Punctele b,c și d va roog ​

Answer 1

Demonstrația prin inducție matematică a lui P(n) are două etape:

1. verificarea lui P(n) pentru valoare minimă a lui n;

2. presupunerea că P(k) este adevărată și demonstrarea faptului că P(k+1) este adevărată.

b)

1. verificăm P(n) pentru n = 0:

7¹ + 1  $\vdots$  8

8  $\vdots$  8  (A)

2. pp. P(k) adevărată, ∀k nr. natural nenul, și demonstrăm că P(k+1) este de asemenea adevărată

$7^{2(k+1)+1}+ 1 = 7^{2k+2+1}+1 = 7^{2k+1}\cdot 7^{2} + 1 = 7^{2k+1}\cdot (48+1) + 1 = 48\cdot 7^{2k+1}+ 7^{2k+1} + 1 = 48\cdot 7^{2k+1}+P(k)$

ambii termeni ai sumei sunt divizibili cu 8 ⇒ P(k+1)  $\vdots$  8 (A)

⇒ P(n)  $\vdots$  8, ∀n nr. natural nenul

c) vom face două demonstrații prin inducție, succesiv

① 1. verificăm P(n) pentru n = 1:

4¹ + 15 · 1 - 1  $\vdots$  9

18  $\vdots$  9  (A)

2. pp. P(k) adevărată, ∀k nr. natural nenul, și demonstrăm că P(k+1) este de asemenea adevărată

$4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4^{k} \cdot 4+ 15k + 15 - 1 = 4^{k} \cdot (1 + 3)+ 15k + 15 - 1 = 4^{k} + 3\cdot 4^{k}+ 15k + 15 - 1 = (4^{k} + 15k - 1) + 3\cdot 4^{k}+ 15 = P(k) + 3\cdot 4^{k}+ 15$

P(k)  $\vdots$  9

arătăm că $(3\cdot 4^{k}+ 15)\ \vdots\ 9$

$3\cdot 4^{k}+ 15 = 3 \cdot(4^{k}+ 5)\ \vdots\ 3$

② demonstrăm P₁(n) = $(4^{n}+ 5)\ \vdots\ 3$, ∀n nr. natural nenul, tot prin inducție:

1. verificăm P₁(n) pentru n = 1:

4¹ + 5 = 9  $\vdots$  3 (A)

2. pp. P₁(k) adevărată, ∀k nr. natural nenul, și demonstrăm că P₁(k+1) este de asemenea adevărată

$4^{k+1}+ 5 = 4^{k}\cdot4+ 5 = 4^{k}\cdot(3+1)+ 5 = 3\cdot 4^{k}+4^{k}+ 5 = 3\cdot 4^{k} + P_{1} (k)$

ambii termeni ai sumei sunt divizibili cu 3 ⇒ P₁(k+1)  $\vdots$  3 (A)

revenim la ①:

⇒ P₁(n)  $\vdots$  3  ⇒ P(k+1)  $\vdots$  9

⇒ P(n)  $\vdots$  9, ∀n nr. natural nenul

d) vom face două demonstrații prin inducție, succesiv

① 1. verificăm P(n) pentru n = 1:

4¹ - 3 - 1  $\vdots$  9

0  $\vdots$  9  (A)

2. pp. P(k) adevărată, ∀k nr. natural nenul, și demonstrăm că P(k+1) este de asemenea adevărată

$4^{k+1}-3\cdot (k+1)- 1 = 4^{k}\cdot 4-3\cdot k-3- 1=4^{k}\cdot (1+3)-3\cdot k-3- 1=4^{k}+3\cdot 4^{k}-3\cdot k-3- 1 = 4^{k}-3\cdot k-1 - 3(1+4^{k})=P(k) + 3(4^{k}-1)$

P(k)   $\vdots$  9

$3(4^{k}-1)\ \vdots\ 3$

② arătăm că $P_{1}(n)= (4^{n}-1)\ \vdots\ 3$, ∀n nr. natural nenul, tot prin inductie

1. verificăm P₁(n) pentru n = 1:

4¹ - 1 = 3  $\vdots$  3 (A)

2. pp. P₁(k) adevărată, ∀k nr. natural nenul, și demonstrăm că P₁(k+1) este de asemenea adevărată

$4^{k+1}-1 = 4^{k}\cdot4-1 = 4^{k}\cdot(3+1)-1 = 3\cdot 4^{k}+4^{k}-1 = 3\cdot 4^{k} + P_{1} (k)$

ambii termeni ai sumei sunt divizibili cu 3 ⇒ P₁(k+1)  $\vdots$  3 (A)

revenim la ①:

P₁(n)  $\vdots$  3  ⇒ P(k+1)  $\vdots$  9

⇒ P(n)  $\vdots$  9, ∀n nr. natural nenul