Question

Punctul c)
..................​

Answer 1

$f(x) = \dfrac{xe^x}{x+2} \\ \\ \\ \text{Voi folosi proprietatea lui Darboux.} \\ \\\text{Daca }f(x)\text{ este continua pe intervalul }(a,b),\\ \text{atunci, }f(x) = \lambda \text{ are cel putin o solutie in acest interval daca } \\\\ \Big(f(a)-\lambda\Big)\cdot\Big(f(b)-\lambda\Big) < 0\\ \\\text{Am demonstrat ca f este continua pe intervalui (1,2)}\\\text{in imaginea atasata.}$

$f(x) = 1,\quad x\in (1,2) \\ \\ \\ g(x) = f(x) - 1 =\dfrac{xe^x}{x+2}-1 \\ \\ g(1) = \dfrac{e}{3}- 1\approx \dfrac{2.71}{3}-1 <0\\ g(2) = \dfrac{2e^2}{4}-1 = \dfrac{e^2}{2}-1 \approx \dfrac{(2.71)^2}{2} - 1 > 0 \\ \\ \Rightarrow \Big(f(1)-1\Big)\Big(f(2)-1)\Big) < 0\\ \\ \Rightarrow \text{exista cel putin o solutie in intervalul (1,2) pentru ecuatia} \\ f(x) = 1.$