Question

Raportul catetelor unui triunghi dreptunghic este 3/4 , iar inaltimea imparte ipotenuza in doua segmente, dintre care unul este cu 21 cm mai mare decat celalalt. Aflati catetele, inaltimea si ipotenuza triunghiului dreptunghic.
(Dau coronita)

Answer 1

Notam a=ipotenuza,
b si c=catetele,
h=inaltimea
d=proiectia catetei b pe ipotenuza
x=proiectia catetei c pe ipotenuza

Avem relatiile:

$\frac{b}{c} = \frac{3}{4}$<1, deci b<c

b=$\frac{3}{4}$*c    (rel 1)

Din Teorema catetei:

$b^{2}$=d(d+x)

$c^{2}$=x(d+x)

Facem raportul celor doua relatii si obtinem:

$\frac{ b^{2} }{ c^{2} } = \frac{d}{x}$ < 1, deci d<x si din enunt reiese ca:

x=d+21 deci:

$b^{2}$=d(2d+21)

$c^{2}$=(d+21)(2d+21)  (rel 2)

Din Teorema lui Pitagora:

$b^{2} + c^{2} = (2d+21)^{2}$  (rel 3)

Din exprimarea ariei triunghiului dreptunghic in doua moduri avem:

b*c=h(2d+21)    (rel 4)

Prelucram relatiile (1), (2), (3) si (4) si obtinem:

Din (1) si (3):

$c^{2} * \frac{5}{4} ^{2} = (2d+21)^{2}$  de unde rezulta ca:

c=$\frac{4}{5} *(2d+21)$ si inlocuim in (2):

$( \frac{4}{5} )^{2} * (2d+21)^{2} =(d+21)(2d+21)$  deci:

16(2d+21)=25(d+21)

7d=9*21

d=27, deci

ipotenuza=2*27+21=75 cm

c=$\frac{4}{5} *(2*27+21)$ = 60 cm este o cateta

b=$\frac{3}{4}$*60 = 45 cm este cealalta cateta

h=$\frac{45*60}{75}$ = 36 cm este inaltimea