Question

Relatia lui Sylvester, demonstratie: sintetic; vectorial si trigonometric

Answer 1

In orice triunghi ABC , avem relaţiaOH= OC+ OB+OA(cu vector deasupra), unde notăm centru lcercului circumscris cuO, centrul de greutate G şi ortocentrul cu H . 


În cazul când triunghiul ABC este dreptunghic, relaţia este evidentă. De exemplu dacă
m A= 90  atunci A =H =şiOeste mijlocul lui  BC , iar relaţia se reduce la 0=OC+ OB cu vector deasupra .Dacă triunghiul nu este dreptunghic, fie D punctual diametral opus lui A în cercu lcircumscris şi P mijlocul laturii BC .Patrulaterul BHCDare laturile opuse paralele (avem AC  BH ⊥şi AC  DC ⊥, deci DC  BH ; analog AB perpend pe CH şi AB perpend pe DB, deci DB paralel CH ), deci este parallelogram. Rezultă că mijlocul diagonalei[ ] HDcoincide cu mijlocul P al laturii[ ] BC .În triunghiul AHD,OP este linie mijlocie, dec iAH =2OP. Cum,OC =OB rezulta 2OP =OC+ OB2 cu vectori deasupra, deci AH =OC +OB sauOA-OH =OC +OB, de undeOH =OC +OB+OA cu vectori deasupra.