Question

reprezentati intr-un sistem de axe punctele A(0,1)B(4,0)C(5,4)D(1,5)si aratati ca patrulaterul ABCD este patrat


VA ROG AJUTATIMA AM NEVOIE MAINE DAU COROANA

Answer 1

Panta unei drepte definita de doua puncte X(x1,y1)si Y(x2,y2) este
$m_{XY}=\frac{y2-y1}{x2-x1}$
Atunci pantele dreptelor formate din punctele AD si BC este
$m_{AD}=\frac{5-1}{1-0}=4$ si
$m_{BC}=\frac{4-0}{5-4}=4$
Din cele 2 relatii rezulta ca pantele dreptelor sunt egale
$m_{AD}=m_{BC}$ dar stim ca daca pantele sunt egale, atunci dreptele sunt paralele, deci stim ca AD||BC(1)
Lungimea unui segment format din punctele X(x1,y1)si Y(x2,y2) este:
$[XY]=\sqrt{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}}$ in cazul punctelor noastre avem
$[AD]=\sqrt{(1-0)^{2}+(5-1)^{2}}=\sqrt{17}$
$[BC]=\sqrt{(5-4)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{17}$
deci rezulta ca [AD]=[BC](2) Dar din faptul ca stim ca si dreptele din care fac parte sunt paralele rezulta ca patrulaterul convex ABCD este un paralelogram
stim ca doua drepte cu pantele m1 si m2 sunt perpendiculare daca produsul lor este -1
$m_{1}*m_{2}=-1$
Sa calculam panta dreptei AB
$m_{AB}=\frac{0-1}{4-0}=-\frac{1}{4}$
Atunci avem
$m_{AD}*m_{AB}=4*-\frac{1}{4}=-1$ deci dreapta AD este perpendiculara pe AB. Un paralelogram cu doua laturi alaturate perpendiculare este un dreptunghi, deci stim ca ABCD este dreptunghi

Sa vedem ce lungime are segmentul AB
$[AB]=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{17}$ adica [AB]=[AD]
dar stim ca orice dreptunghi cu 2 laturi alaturate egale este un patrat, deci ABCD este un patrat