Question

Reprezinta graficul functiei f:D->R

f(x)=ln(x^2-1) .

Answer 1

Răspuns:

f(x)=ln(x²-1)

Domeniul  de  definitie

x²-1>0

x²-1=0

x²=1

x=±1

Conform  regulii  semnului pt  functia   de   gradul  2 x∈(-∞,-1)U(1,+∞)=D

--------------------

Intersectia  cu  Ox  f(x)=0

ln(x²-1)=0=>

x²-1=1

x²=1+1

x²=2

x=±√2∈D

A(-√2,0); B(√2,0)

intersectia  cu  Oy   .Deoarece 0∉D  graficul nu  intersecteaza  axa  Oy

LImite

$\lim_{x \to- \infty} f(x)= \lim_{x\to -\infty} ln(x^2-1)$=

$\lim_{x \to -\infty} ln((-oo)^{2} -1=lnoo=$+∞

$\lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x\to \infty}ln (oo^2-1)=$+∞

Asimptote verticale

x->-1 , x<-1 l=limln(x²-1)=ln((-1)²-1)=ln(1-1)=ln0= -∞

x->1 x>1 l=limln(x²-1)=ln(1²-1)=ln0=-∞

_____________________

PUncte de   extrem-prima  derivata

f `(x)=2x/(x²-1)

f `(x)=0    2x/(x²-1)=0=>x=0   ∉D  nu  avem puncte  de  extrem

Semnul derivatei .umitorul  e   strict pozitiv ,semnul  e dat  de numarator<Pt  x<  -√2   derivata  e  negativa  de ci  functia e   descrescatoare, pt  x>√2   derivata  e  pozitiva  si  funtia  e   strict  crescatoare

Puncte  de  inflexiune

f  ``(x)=[2(x²-1)-2x*2x]/(x²-1)²

=(2x²-1-4x²)/(x²-1)²=(-2x²-1)/(x²-1)²

f ``(x)=0

-2x²-1=0

2x²+1=0  Suma  de  patrate  strict  pozitiva, deci nenula

deivata  2 nu  se  anuleaza functia nu  are puncte   de  inflesiune

Semnul  derivatei  2

f ``(x)= -(2x²+1)/(x²-1)²

Numaratorul  e  strict  negativ, numitorul strict pozitiv . derivata 2  e  stricy negativa.Functia  e   concava

Tabel  de   variatie

x       l  -∞              -√2----------------- +√2                 +∞

__________________________--_______________

f `(x)   l-   -   -    -   -  _____________+      +   +   +

___________________________________________

f   (x)   l  +∞\     \     \0_____________0/    /    /      /  /

Explicație pas cu pas: