Question

Resorturile din imagine au aceeași constanta elastică k =10 N/m. Să se determine constanta echivalentă a sistemului. Rezultatul se va introduce sub formă de fracție folosind simbolul "/" și fără spații!!

Answer 1

Răspuns: 110/3 N/m

Explicație: In primul rand, trebuie sa lamurim notiunea de legare a resorturilor in serie si paralel.

1. 2 resorturi sunt legate in serie daca de capatul de jos al unuia e legat capatul de sus al celuilalt. Presupunem ca resorturile au constantele elastice k1 si k2 si ca atunci cand actionam cu forta F asupra resortului de jos, acestea vor avea deformarile Δx1 si Δx2. In figura "resorturi serie.png" am figurat fortele ce actioneaza asupra corpurilor. Tinand cont ca sistemul format din cele 2 resorturi e in echilibru, vom scrie al doilea principiu al lui Newton pentru punctul (A) si (B).

(A): Fel1 + Fel2 = 0 (ecuatia vectoriala)

     Fel1 - Fel2 = 0 (ecuatia scalara), din care rezulta ca k1*Δx1 = k2*Δx2, deci Δx1 = $\frac{k2}{k1}$ * Δx2 (1)

(B): F + Fel2 = 0 (ecuatia vectoriala)

     F - Fel2 = 0 (ecuatia scalara), din care reiese ca F = Fel2 (= Fel1) (2)

Inlocuind gruparea serie a resorturilor cu un singur resort echivalent, in acesta va aparea o forta elastica Fel' egala cu F, cu o noua constanta elastica, dar care va produce acelasi efect (aceeasi deformare Δx1 + Δx2), deci putem scrie F = k' * (Δx1 + Δx2) (3).

Din (1), (2) si (3) obtinem ca k' = (k2 * Δx2)/(Δx2 +  $\frac{k2}{k1}$ * Δx2), iar prin prelucare matematica avem: k' = $\frac{k1 * k2}{k1 + k2}$.

2. 2 resorturi sunt legate in paralel daca capetele lor superioare(respectiv inferioare) sunt legate de acelasi suport. In acest caz, sub actiunea fortei F, resorturile vor avea aceeasi deformare Δx.

In figura "resorturi paralel.png" sunt reprezentate fortele, astfel ca vom scrie iar principiul 2 pentru punctul (C).

(C): F + Fel1 + Fel2 = 0 (vectorial)

      F - Fel1 - Fel2 = 0 (scalar), deci F = k1*Δx + k2*Δx (1)

Stiind ca un nou resort echivalent ar avea constanta elastica k' si ar avea acceasi deformare Δx, putem scrie ca:

   F = k' * Δx = k1*Δx + k2*Δx, simplificand prin Δx, obtinem ca k' = k1 + k2.

Deci ca o generalizare, un resort echivalent unei grupari serie are constanta elastica k' = $\frac{k1 * k2}{k1 + k2}$, iar un resort echivalent unei grupari paralel are constanta elastica k' = k1 + k2.

Revenind la problema initiala, observam ca avem 3 grupari legate in paralel:

• prima este in sine o grupare serie
• a doua este o grupare serie intre 2 grupari paralele
• a treia e o grupare serie intre un resort si o grupare paralel

Aplicand formulele deduse pe fiecare ramura, obtinem:

1. k1 = k + k = 2k
2. k2' = k2'' = k + k = 2k (fiecare grupare paralel); k2 = $\frac{k2' * k2''}{k2' + k2''}$ = k
3. k3' = k + k = 2k, k3 = $\frac{k * 2k}{k + 2k}$ = $\frac{2k}{3}$

In final k' = k1 + k2 + k3 = $\frac{11k}{3}$ = $\frac{110}{3}$ N/m.